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Concept
Produit libre
Résumé
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, le produit libre de deux groupes G et H est un nouveau groupe, noté G∗H, qui contient G et H comme sous-groupes, est engendré par les éléments de ces sous-groupes, et constitue le groupe « le plus général » possédant ces propriétés.
Le produit libre est le coproduit, ou « somme », dans la catégorie des groupes, c'est-à-dire que la donnée de deux morphismes, de G et H dans un même groupe K, équivaut à celle d'un morphisme de G∗H dans K.
On définit de même le produit libre d'une famille (Gi)i∊I de groupes. Lorsque tous les Gi sont égaux à Z, leur produit libre est le groupe libre FI.
Si G et H sont deux groupes, leur produit libre G∗H est défini comme le groupe (unique à isomorphisme près), dans lequel les groupes G et H s'injectent (i:G→G∗H et j:H→G∗H) avec la propriété universelle suivante :
Pour tout groupe K, pour tous morphismes g:G→K et h:H→K, il existe un unique morphisme f:G∗H→K qui prolonge à la fois g et h, c'est-à-dire tel que f∘i=g et f∘j=h.
Autrement dit, le produit libre est le coproduit (ou somme) dans la catégorie des groupes, par opposition au produit direct d'une famille de groupes, qui est un exemple de produit en théorie des catégories.
Cette définition s'étend en remplaçant (G,H) par une famille quelconque de groupes.
L'unicité de G∗H est assurée par sa propriété universelle. Démontrons son existence. On peut supposer que G et H sont disjoints, en les remplaçant si nécessaire par G×{1} et H×{2} (cf. Réunion disjointe).
Un mot sur G et H est alors un produit formel s1s2...sn où chaque si est un élément de G ou de H. On peut réduire un tel mot en répétant le plus possible les deux opérations :
effacer une occurrence de l'élément neutre de G ou de H
remplacer une succession de deux éléments de G par un seul élément (leur produit dans G), ou remplacer une succession de deux éléments de H par leur produit dans H.
Tout mot ainsi réduit est formé par une alternance d'éléments de G et d'éléments de H, par exemple g1h1g2h2...gkhk (ou encore g1h1g2h2.
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