Stabilité de Liapounov

Résumé

En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibr

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Stabilit%C3%A9_de_Liapounov

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Control and stabilization of the periodic fifth order Korteweg-de Vries equation

Derek Lee Smith

We establish local exact control and local exponential stability of periodic solutions of fifth order Korteweg-de Vries type equations in H-s(& x1d54b;), s > 2. A dissipative term is incorporated into the control which, along with a propagation of regularity property, yields a smoothing effect permitting the application of the contraction principle.

2019

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Plug-and-Play Decentralized Model Predictive Control

Marcello Farina, Giancarlo Ferrari Trecate

In this paper we consider a linear system structured into physically coupled subsystems and propose a decentralized control scheme capable to guarantee asymptotic stability and satisfaction of constraints on system inputs and states. The design procedure is totally decentralized, since the synthesis of a local controller uses only information on a subsystem and its neighbors, i.e. subsystems coupled to it. We first derive tests for checking if a subsystem can be plugged into (or unplugged from) an existing plant without spoiling overall stability and constraint satisfaction. When this is possible, we show how to automatize the design of local controllers so that it can be carried out in parallel by smart actuators equipped with computational resources and capable to exchange information with neighboring subsystems. In particular, local controllers exploit tube-based Model Predictive Control (MPC) in order to guarantee robustness with respect to physical coupling among subsystems. Finally, an application of the proposed control design procedure to frequency control in power networks is presented.

2012

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We study constant mean curvature Lorentzian hypersurfaces of R^{1,d+1} from the point of view of its Cauchy problem. We completely classify the spherically symmetric solutions, which include among them a manifold isometric to the de Sitter space of general relativity. We show that the spherically symmetric solutions exhibit one of three (future) asymptotic behaviours: (i) finite time collapse (ii) convergence to a time-like cylinder isometric to some RxS^d and (iii) infinite expansion to the future converging asymptotically to a time translation of the de Sitter solution. For class (iii) we examine the future stability properties of the solutions under arbitrary (not necessarily spherically symmetric) perturbations. We show that the usual notions of asymptotic stability and modulational stability cannot apply, and connect this to the presence of cosmological horizons in these class (iii) solutions. We can nevertheless show the global existence and future stability for small perturbations of class (iii) solutions under a notion of stability that naturally takes into account the presence of cosmological horizons. The proof is based on the vector field method, but requires additional geometric insight. In particular we introduce two new tools: an inverse-Gauss-map gauge to deal with the problem of cosmological horizon and a quasilinear generalisation of Brendle's Bel-Robinson tensor to obtain natural energy quantities.

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