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Concept
Équation de Laplace
Résumé
En analyse vectorielle, l'équation de Laplace est une équation aux dérivées partielles elliptique du second ordre, dont le nom est un hommage au physicien mathématicien Pierre-Simon de Laplace.
Introduite pour les besoins de la mécanique newtonienne, l'équation de Laplace apparaît dans de nombreuses autres branches de la physique théorique : astronomie, électrostatique, mécanique des fluides, propagation de la chaleur, diffusion, mouvement brownien, mécanique quantique.
Les fonctions solutions de l'équation de Laplace sont appelées les fonctions harmoniques.
En coordonnées cartésiennes dans un espace euclidien de dimension 3, le problème consiste à trouver toutes les fonctions à trois variables réelles qui vérifient l'équation aux dérivées partielles du second ordre :
Pour simplifier l'écriture, on introduit un opérateur différentiel noté et appelé opérateur de Laplace, ou simplement laplacien, tel que l'équation aux dérivées partielles précédente s'écrive de façon compacte :
En coordonnées sphériques dans la convention rayon-colatitude-longitude, la solution générale à l'équation de Laplace est
où et sont les polynômes associés de Legendre du premier et du second type, respectivement. Comme ceux du second type comportent des divergences, ils ne sont habituellement pas considérés dans les problèmes physiques. Également, il est plus courant de combiner les polynômes associés de Legendre et les phases sous la forme des harmoniques sphériques .
En coordonnées cylindriques, il existe deux possibilités dépendamment des conditions frontières de la solution recherchée. Si la solution doit osciller entre deux valeurs de , notamment un cylindre de rayon et de hauteur dont les extrémités sont fixées à zéro alors la solution générale aura la forme
où et sont les fonctions de Bessel modifiées du premier et deuxième types, respectivement.
Si la solution recherchée doit être nulle sur la surface latérale du cylindre, alors la solution générale aura la forme
où et sont les fonctions de Bessel et de Neumann, respectivement, et où est le n-ième zéro de la m-ième fonction de Bessel.
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