Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Décomposition LU
Résumé
En algèbre linéaire, la décomposition LU est une méthode de décomposition d'une matrice comme produit d'une matrice triangulaire inférieure (comme lower, inférieure en anglais) par une matrice triangulaire supérieure (comme upper, supérieure). Cette décomposition est utilisée en analyse numérique pour résoudre des systèmes d'équations linéaires.
Soit une matrice carrée. On dit que admet une décomposition LU s'il existe une matrice triangulaire inférieure formée de 1 sur la diagonale, notée , et une matrice triangulaire supérieure, notée , qui vérifient l'égalité
Il n'est pas toujours vrai qu'une matrice admette une décomposition LU. Cependant dans certains cas, en permutant des lignes de , la décomposition devient possible. On obtient alors une décomposition de la forme
où est une matrice de permutation.
Bien que les décompositions LU et PLU conduisent à des formules distinctes, généralement quand on parle de la décomposition LU, on fait référence à l'une ou l'autre de ces décompositions.
La matrice symétrique
se factorise de la façon suivante :
Cette factorisation matricielle permet de résoudre des systèmes d'équations linéaires où les coefficients des inconnues sont les mêmes, mais avec plusieurs seconds membres différents. Soit à déterminer le vecteur d'inconnues associé au second membre :
Ce problème est donc équivalent à la résolution de
que l'on peut mettre, en posant , sous la forme :
On trouve les composantes de par des substitutions élémentaires, puisque d'abord donc , puis , donc , etc.
Cette étape est appelée descente, puisqu'on résout le système en descendant de à . Il reste à calculer les composantes du vecteur en résolvant le système triangulaire supérieur :
ce qui se fait de manière similaire, mais en calculant d'abord :
etc. en remontant (étape dite de remontée).
Remarque. - Les matrices triangulaires et auraient pu être inversées aisément en utilisant l'élimination de Gauss-Jordan.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.