Point d'inflexion

Résumé

thumb|Représentation graphique de la fonction x ↦ x montrant un point d'inflexion aux coordonnées (0, 0). thumb|Point d'inflexion de la fonction arc tangente. En mathématiques, et plus précisément en analyse et en géométrie différentielle, un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane. En un tel point, la tangente traverse la courbe. C'est pourquoi les points d'inflexion, quand on arrive à les déterminer explicitement, aident à bien représenter l'allure de la courbe. Point d'inflexion pour le graphe d'une fonction numérique La notion du point d'inflexion indique un changement au second ordre dans la fonction qui peut être identifié par plusieurs notions voisines qui, sous des hypothèses de régularité, sont équivalentes. Si l'on considère les hypothèses suivantes pour la régularité locale de la fonction :

la fonction est localement définie et continue,

la fonction admet une tangente au point considéré (éventuellement vert

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_d'inflexion

À propos de ce résultat

Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Publications associées (2)

Publications associées

Chargement

Personnes associées

Aucun résultat

Personnes associées

Chargement

Unités associées

Chargement

Concepts associés (27)

Concepts associés

Chargement

Cours associés (26)

Cours associés

Chargement

Séances de cours associées (73)

Séances de cours associées

Chargement

Finding stationary points on bounded-rank matrices: a geometric hurdle and a smooth remedy

Nicolas Boumal

We consider the problem of provably finding a stationary point of a smooth function to be minimized on the variety of bounded-rank matrices. This turns out to be unexpectedly delicate. We trace the difficulty back to a geometric obstacle: On a nonsmooth set, there may be sequences of points along which standard measures of stationarity tend to zero, but whose limit points are not stationary. We name such events apocalypses, as they can cause optimization algorithms to converge to non-stationary points. We illustrate this explicitly for an existing optimization algorithm on bounded-rank matrices. To provably find stationary points, we modify a trust-region method on a standard smooth parameterization of the variety. The method relies on the known fact that second-order stationary points on the parameter space map to stationary points on the variety. Our geometric observations and proposed algorithm generalize beyond bounded-rank matrices. We give a geometric characterization of apocalypses on general constraint sets, which implies that Clarke-regular sets do not admit apocalypses. Such sets include smooth manifolds, manifolds with boundaries, and convex sets. Our trust-region method supports parameterization by any complete Riemannian manifold.

SPRINGER HEIDELBERG2022

Chargement

For a Hamiltonian matrix with purely imaginary eigenvalues, we aim to determine the nearest Hamiltonian matrix such that some or all eigenvalues leave the imaginary axis. Conversely, for a Hamiltonian matrix with all eigenvalues lying off the imaginary axis, we look for a nearest Hamiltonian matrix that has a pair of imaginary eigenvalues. The Hamiltonian matrices can be allowed to be complex or restricted to be real. Such Hamiltonian matrix nearness problems are motivated by applications such as the analysis of passive control systems. They are closely related to the problem of determining extremal points of Hamiltonian pseudospectra. We obtain a characterization of optimal perturbations, which turn out to be of low rank and are attractive stationary points of low-rank differential equations that we derive. We use a two-level approach, where in the inner level we determine extremal points of the Hamiltonian -pseudospectrum for a given by following the low-rank differential equations into a stationary point, and on the outer level we optimize for . This permits us to give fast algorithms-exhibiting quadratic convergence-for solving the considered Hamiltonian matrix nearness problems.

Springer Heidelberg2015

Chargement