Espace de Baire (théorie des ensembles)En mathématiques, et plus précisément en topologie générale, l’espace de Baire est le nom donné — d'après René Baire — à l'ensemble de toutes les suites d'entiers, muni d'une certaine topologie. Cet espace est souvent utilisé en théorie descriptive des ensembles, au point que ses éléments sont souvent appelés des « réels ». On le note souvent B, NN, ωω, ou ωω. On appelle espace de Baire, noté NN, le produit cartésien d'un ensemble dénombrable de copies de l'ensemble N des entiers naturels, muni de la topologie produit, où chaque copie de N est munie de la topologie discrète.
PointclassIn the mathematical field of descriptive set theory, a pointclass is a collection of sets of points, where a point is ordinarily understood to be an element of some perfect Polish space. In practice, a pointclass is usually characterized by some sort of definability property; for example, the collection of all open sets in some fixed collection of Polish spaces is a pointclass. (An open set may be seen as in some sense definable because it cannot be a purely arbitrary collection of points; for any point in the set, all points sufficiently close to that point must also be in the set.
Espace de CantorEn mathématiques, plus précisément en topologie, on appelle espace de Cantor l'espace produit , où est muni de la topologie discrète. C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes) et totalement discontinu, qui a la propriété suivante : Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de K.
Axiome de déterminationL'axiome de détermination est un axiome alternatif de la théorie des ensembles affirmant que certains jeux (au sens de la théorie des jeux) infinis sont déterminés. Cet axiome n'est pas compatible avec l'axiome du choix mais implique l'axiome du choix dénombrable pour les familles d'ensembles de réels et implique également une forme faible de l'hypothèse du continu.
Hiérarchie de BorelLa hiérarchie de Borel désigne une description de la tribu des boréliens d'un espace topologique X comme une réunion croissante d'ensembles de parties de X, indexée par le premier ordinal non dénombrable. Soit un ensemble de parties d'un ensemble X. On note : l'ensemble des unions dénombrables d'éléments de : l'ensemble des intersections dénombrables d'éléments de : Les lettres grecques σ et δ représentent respectivement les mots allemands désignant la réunion (Summe) et l'intersection (Durchschnitt).
Hiérarchie analytiqueIn mathematical logic and descriptive set theory, the analytical hierarchy is an extension of the arithmetical hierarchy. The analytical hierarchy of formulas includes formulas in the language of second-order arithmetic, which can have quantifiers over both the set of natural numbers, , and over functions from to . The analytical hierarchy of sets classifies sets by the formulas that can be used to define them; it is the lightface version of the projective hierarchy.
Projective hierarchyIn the mathematical field of descriptive set theory, a subset of a Polish space is projective if it is for some positive integer . Here is if is analytic if the complement of , , is if there is a Polish space and a subset such that is the projection of onto ; that is, The choice of the Polish space in the third clause above is not very important; it could be replaced in the definition by a fixed uncountable Polish space, say Baire space or Cantor space or the real line.
Axiom of projective determinacyIn mathematical logic, projective determinacy is the special case of the axiom of determinacy applying only to projective sets. The axiom of projective determinacy, abbreviated PD, states that for any two-player infinite game of perfect information of length ω in which the players play natural numbers, if the victory set (for either player, since the projective sets are closed under complementation) is projective, then one player or the other has a winning strategy.
Nombre réelEn mathématiques, un nombre réel est un nombre qui peut être représenté par une partie entière et une liste finie ou infinie de décimales. Cette définition s'applique donc aux nombres rationnels, dont les décimales se répètent de façon périodique à partir d'un certain rang, mais aussi à d'autres nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, π et e.
Effective descriptive set theoryEffective descriptive set theory is the branch of descriptive set theory dealing with sets of reals having lightface definitions; that is, definitions that do not require an arbitrary real parameter (Moschovakis 1980). Thus effective descriptive set theory combines descriptive set theory with recursion theory. Effective Polish space An effective Polish space is a complete separable metric space that has a computable presentation. Such spaces are studied in both effective descriptive set theory and in constructive analysis.
