Espace de Banach

En mathématiques, plus particulièrement en analyse fonctionnelle, on appelle espace de Banach un espace vectoriel normé sur un sous-corps K de C (en général, K = R ou C), complet pour la distance issue de sa norme. Comme la topologie induite par sa distance est compatible avec sa structure d’espace vectoriel, c’est un espace vectoriel topologique. Les espaces de Banach possèdent de nombreuses propriétés qui font d'eux un outil essentiel pour l'analyse fonctionnelle. Ils doivent leur nom au mathématicien polonais Stefan Banach. Un espace vectoriel normé est un espace de Banach si et seulement si, dans cet espace, toute série absolument convergente est convergente. Tout espace vectoriel de dimension finie sur R (resp. C) muni de n'importe quelle norme, par exemple une norme euclidienne (resp. hermitienne). Pour tout ensemble X et tout espace de Banach E, l'espace B(X, E) des applications bornées de X dans E, muni de la norme de la convergence uniforme. Tout sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Banach. Par exemple, si X est un espace topologique et E un espace de Banach : le sous-espace de B(X, E) des fonctions à la fois continues et bornées, en particulier l'espace C(K, E) des fonctions continues sur un espace compact K. (En fait, d'après le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki, tout espace de Banach est un sous-espace fermé d'un C(K, R).) Les espaces de Hilbert. Plus généralement, pour 1 ≤ p ≤ ∞, l'espace L(X) des classes de fonctions mesurables (à valeurs réelles ou complexes) sur un espace mesuré X, et dont la puissance p-ième est intégrable (ou qui sont bornées, si Tout espace vectoriel normé quotient d'un espace de Banach par un sous-espace fermé — grâce à la caractérisation par les séries ci-dessus. (En fait, tout espace de Banach séparable est un tel quotient de l.) Soient E et F deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de E dans F. Si f est surjective alors elle est ouverte, c'est-à-dire que l' par f de tout ouvert de E est un ouvert de F. Si f est bijective alors c'est un homéomorphisme.