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Concept
Théorie oméga-cohérente
Résumé
En logique mathématique une théorie arithmétique est appelée théorie ω-cohérente (oméga-cohérente) quand, pour toute propriété P des nombres entiers que l'on peut exprimer dans le langage de la théorie,
si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie,
alors ¬∀x P(x) n'est pas démontrable dans la théorie (¬ pour la négation, ∀ pour la quantification universelle, « pour tout »).
Quand on prend pour P un énoncé clos (qui ne dépend pas de x) on retrouve la définition de la cohérence, appelée parfois dans ce contexte cohérence simple, qui est donc conséquence de l'ω-cohérence.
D'un point de vue sémantique, dans la définition ci-dessus le n fait référence à un entier standard, qui renvoie à un entier « ordinaire » (un entier du méta-langage dans lequel on raisonne sur la théorie), mais une théorie arithmétique (du premier ordre) a nécessairement des modèles non standards, c'est-à-dire des modèles ayant d'autres éléments que les entiers standards. Le x fait référence à un élément quelconque de ce modèle (donc pas forcément un entier standard).
Cette définition a été introduite par Kurt Gödel, comme hypothèse pour son premier théorème d'incomplétude. Plus précisément, Gödel montre que pour une théorie arithmétique vérifiant certaines hypothèses naturelles, il existe un énoncé G qui n'est pas démontrable si la théorie est cohérente (cohérence simple), et dont la négation n'est pas démontrable si la théorie est ω-cohérente.
D'autres hypothèses fortes de cohérence ont été introduites après Gödel, qui supposent que les énoncés démontrables dans la théorie qui appartiennent à une certaine classe sont vrais dans le modèle standard N, en particulier pour des classes d'énoncés définis à l'aide de la hiérarchie arithmétique. On montre que ce sont bien des hypothèses de cohérence car elles ont pour conséquence que certains énoncés ne sont pas démontrables, ceux qui appartiennent à la classe en question et qui sont faux.
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On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems
"Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I" ("On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems I") is a paper in mathematical logic by Kurt Gödel. Submitted November 17, 1930, it was originally published in German in the 1931 volume of Monatshefte für Mathematik. Several English translations have appeared in print, and the paper has been included in two collections of classic mathematical logic papers.
Cohérence (logique)
En logique mathématique, la cohérence, ou consistance, d'une théorie axiomatique peut se définir de deux façons, soit par référence à la déduction : il n'est pas possible de tout démontrer à partir des axiomes de la théorie, soit par référence à la sémantique de la théorie : celle-ci possède des réalisations qui lui donnent un sens. La première définition est syntaxique au sens où elle utilise des déductions ou démonstrations, qui sont des objets finis.
Codage de Gödel
En logique mathématique, un codage de Gödel (ou numérotation de Gödel) est une fonction qui attribue à chaque symbole et formule bien-formée de certains langages formels un entier naturel unique, appelé son code de Gödel, ou numéro de Gödel. Le concept a été utilisé par Kurt Gödel pour la preuve de ses théorèmes d'incomplétude. Un codage de Gödel peut être interprété comme un codage dans lequel un numéro est attribué à chaque symbole d'une notation mathématique, après quoi une séquence d'entiers naturels peut alors représenter une séquence de symboles.