Théorie oméga-cohérente

En logique mathématique une théorie arithmétique est appelée théorie ω-cohérente (oméga-cohérente) quand, pour toute propriété P des nombres entiers que l'on peut exprimer dans le langage de la théorie, si pour chaque entier n, P(n) est démontrable dans la théorie, alors ¬∀x P(x) n'est pas démontrable dans la théorie (¬ pour la négation, ∀ pour la quantification universelle, « pour tout »). Quand on prend pour P un énoncé clos (qui ne dépend pas de x) on retrouve la définition de la cohérence, appelée parfois dans ce contexte cohérence simple, qui est donc conséquence de l'ω-cohérence. D'un point de vue sémantique, dans la définition ci-dessus le n fait référence à un entier standard, qui renvoie à un entier « ordinaire » (un entier du méta-langage dans lequel on raisonne sur la théorie), mais une théorie arithmétique (du premier ordre) a nécessairement des modèles non standards, c'est-à-dire des modèles ayant d'autres éléments que les entiers standards. Le x fait référence à un élément quelconque de ce modèle (donc pas forcément un entier standard). Cette définition a été introduite par Kurt Gödel, comme hypothèse pour son premier théorème d'incomplétude. Plus précisément, Gödel montre que pour une théorie arithmétique vérifiant certaines hypothèses naturelles, il existe un énoncé G qui n'est pas démontrable si la théorie est cohérente (cohérence simple), et dont la négation n'est pas démontrable si la théorie est ω-cohérente. D'autres hypothèses fortes de cohérence ont été introduites après Gödel, qui supposent que les énoncés démontrables dans la théorie qui appartiennent à une certaine classe sont vrais dans le modèle standard N, en particulier pour des classes d'énoncés définis à l'aide de la hiérarchie arithmétique. On montre que ce sont bien des hypothèses de cohérence car elles ont pour conséquence que certains énoncés ne sont pas démontrables, ceux qui appartiennent à la classe en question et qui sont faux.