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Concept
Problème du vendeur de journaux
Résumé
Le problème dit « problème du vendeur de journaux » est un modèle mathématique simple en recherche opérationnelle (microéconomie) concernant le volume économiquement optimal du stock d’un bien qui sera proposé à une demande aléatoire.
L’analyse de ce problème académique montre que, lorsque des phénomènes stochastiques interviennent dans les données d’un problème d’optimisation, le fait de remplacer ces variables aléatoires par leurs espérances respectives dénature les résultats et conduit à une sous-optimisation. La simplification avantageuse (en termes de résolution) d’une formulation déterministe d’un problème qui ne l’est pas peut induire des prises de décision erronées et coûteuses.
Au début de sa journée, un vendeur itinérant achète un certain nombre de journaux au prix unitaire afin de les vendre à la criée aux passants des rues, ceci à un prix unitaire (hypothèse).
Ne connaissant pas précisément le volume de ses ventes, le vendeur cherche à déterminer la quantité lui permettant de maximiser l’espérance de son profit acquis durant sa journée :
s’il choisit trop grand, il lui restera des journaux invendus qu’il aura acheté au prix pour les jeter en fin de journée.
s’il choisit trop petit, il restera des acheteurs potentiels, soit autant de ventes perdues.
La fonction objectif (à maximiser) est l’espérance du profit qui, en fonction de la quantité choisie, s’écrit
où la densité de probabilité de la variable aléatoire de la demande.
Les deux premiers termes répertorient les situations où la demande est inférieure (respectivement supérieure) aux disponibilités; le troisième terme concerne les coûts d’acquisition.
Le maximum de est atteint pour le choix optimal défini par la relation implicite :
où est la fonction de répartition cumulative de la demande définie par
En effet, pour tout , on vérifie :
Dans cette dernière relation, en posant (avec ), on déduit le profit espéré maximal :
Conséquemment, il existe un choix conduisant à un profit espéré positif.
Source officielle
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