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Concept
Nombres premiers jumeaux
Résumé
En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de 2. Hormis pour le couple (2, 3), cet écart entre nombres premiers de 2 est le plus petit possible. Les plus petits nombres premiers jumeaux sont 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13.
En , les plus grands nombres premiers jumeaux connus, découverts en 2016 dans le cadre du projet de calcul distribué PrimeGrid, sont × 2 ± 1 ; ils possèdent chiffres en écriture décimale.
Selon la conjecture des nombres premiers jumeaux, il existe une infinité de nombres premiers jumeaux ; les observations numériques et des raisonnements heuristiques justifient la conjecture, mais aucune démonstration n'en a encore été faite.
Soient p et q deux nombres premiers. On dit que (p, q) forme un couple de nombres premiers jumeaux si q = p + 2.
Suite des couples de nombres premiers jumeaux jusqu'à 1 000 :
Le couple (2, 3) est le seul couple de nombres premiers consécutifs.
Si l'on omet le couple (2, 3), la plus petite distance possible entre deux nombres premiers est 2 ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.
À l'exception du triplet (3, 5, 7), il ne peut y avoir de triplet de nombres premiers (p, p + 2, p + 4), puisque l'un des trois nombres p, p + 2 et p + 4 est divisible par 3.
Tout couple de nombres premiers jumeaux, à l'exception du couple (3, 5), est de la forme (6n – 1, 6n + 1) pour un certain entier n. En effet, tout triplet d'entiers consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; l'entier qui se trouve entre les deux nombres premiers jumeaux est à la fois ce multiple de 2 et ce multiple de 3, car cela ne peut pas être l'un des nombres premiers.
La somme des chiffres itérée jusqu'à obtenir un nombre entre 0 et 9 est toujours égale à 8 pour le produit de deux nombres premiers jumeaux consécutifs, à l'exception de 3 et 5. Par exemple 11 × 13 = 143 et 1 + 4 + 3 = 8. Dit autrement, le produit de nombres premiers jumeaux, hors 3 et 5, est congru à 8 modulo 9.
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