Cycle (géométrie algébrique)En géométrie algébrique, les cycles sont des combinaisons formelles de fermés irréductibles d'un schéma donné. Le quotient du groupe des cycles par une relation d'équivalence convenable aboutit aux qui sont des objets fondamentaux. Tous les schémas considérés ici seront supposés noethériens de dimension finie. On fixe un schéma qu'on supposera noethérien de dimension finie . Pour tout entier positif ou nul , on appelle -cycle irréductible (resp. -cocycle irréductible) de un fermé irréductible de dimension (resp.
Adequate equivalence relationIn algebraic geometry, a branch of mathematics, an adequate equivalence relation is an equivalence relation on algebraic cycles of smooth projective varieties used to obtain a well-working theory of such cycles, and in particular, well-defined intersection products. Pierre Samuel formalized the concept of an adequate equivalence relation in 1958. Since then it has become central to theory of motives. For every adequate equivalence relation, one may define the of pure motives with respect to that relation.
Conjecture de HodgeLa conjecture de Hodge est une des grandes conjectures de la géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d'y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s'étendre à d'autres cas).
Classe de ChernEn mathématiques, les classes de Chern sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels. Elles tiennent leur nom du mathématicien sino-américain Shiing-Shen Chern, qui les a introduites en 1946 dans le cas complexe. Les classes de Chern ont des applications importantes en mathématiques, notamment en topologie et géométrie algébriques, et en physique dans l'étude des théories de Yang-Mills et des champs quantiques. Distinguer deux fibrés vectoriels sur une variété lisse est en général un problème difficile.
Théorie de HodgeLa théorie de Hodge est l'étude, avec l'apport notamment de la topologie algébrique, des formes différentielles sur une variété lisse. En conséquence elle éclaire l'étude des variétés riemanniennes et kählériennes, ainsi que l'étude géométrique des motifs. Elle tient son nom du mathématicien écossais William Hodge. Un des problèmes du prix du millénaire a trait à cette théorie : la conjecture de Hodge.
Groupe de PicardEn géométrie algébrique, le groupe de Picard est un groupe associé à une variété algébrique ou plus généralement à un schéma. Il est en général isomorphe au groupe des diviseurs de Cartier. Si K est un corps de nombres, le groupe de Picard de l'anneau des entiers de K n'est autre que le groupe des classes de K. Pour les courbes algébriques et les variétés abéliennes, le groupe de Picard (ou plutôt le foncteur de Picard) permet de construire respectivement la jacobienne et la variété abélienne duale.
Standard conjectures on algebraic cyclesIn mathematics, the standard conjectures about algebraic cycles are several conjectures describing the relationship of algebraic cycles and Weil cohomology theories. One of the original applications of these conjectures, envisaged by Alexander Grothendieck, was to prove that his construction of pure motives gave an that is . Moreover, as he pointed out, the standard conjectures also imply the hardest part of the Weil conjectures, namely the "Riemann hypothesis" conjecture that remained open at the end of the 1960s and was proved later by Pierre Deligne; for details on the link between Weil and standard conjectures, see .
Moduli of algebraic curvesIn algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space (typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism classes of algebraic curves. It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding moduli problem and the moduli space is different. One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces for the same moduli problem.
Arakelov theoryIn mathematics, Arakelov theory (or Arakelov geometry) is an approach to Diophantine geometry, named for Suren Arakelov. It is used to study Diophantine equations in higher dimensions. The main motivation behind Arakelov geometry is the fact there is a correspondence between prime ideals and finite places , but there also exists a place at infinity , given by the Archimedean valuation, which doesn't have a corresponding prime ideal. Arakelov geometry gives a technique for compactifying into a complete space which has a prime lying at infinity.
Invertible sheafIn mathematics, an invertible sheaf is a sheaf on a ringed space which has an inverse with respect to tensor product of sheaves of modules. It is the equivalent in algebraic geometry of the topological notion of a line bundle. Due to their interactions with Cartier divisors, they play a central role in the study of algebraic varieties. Let (X, OX) be a ringed space. Isomorphism classes of sheaves of OX-modules form a monoid under the operation of tensor product of OX-modules. The identity element for this operation is OX itself.
