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Concept
Application bilinéaire
Résumé
In mathematics, a bilinear map is a function combining elements of two vector spaces to yield an element of a third vector space, and is linear in each of its arguments. Matrix multiplication is an example.
Let and be three vector spaces over the same base field . A bilinear map is a function
such that for all , the map
is a linear map from to and for all , the map
is a linear map from to In other words, when we hold the first entry of the bilinear map fixed while letting the second entry vary, the result is a linear operator, and similarly for when we hold the second entry fixed.
Such a map satisfies the following properties.
For any ,
The map is additive in both components: if and then and
If and we have B(v, w) = B(w, v) for all then we say that B is symmetric. If X is the base field F, then the map is called a bilinear form, which are well-studied (for example: scalar product, inner product, and quadratic form).
The definition works without any changes if instead of vector spaces over a field F, we use modules over a commutative ring R. It generalizes to n-ary functions, where the proper term is multilinear.
For non-commutative rings R and S, a left R-module M and a right S-module N, a bilinear map is a map B : M × N → T with T an (R, S)-bimodule, and for which any n in N, m ↦ B(m, n) is an R-module homomorphism, and for any m in M, n ↦ B(m, n) is an S-module homomorphism. This satisfies
B(r ⋅ m, n) = r ⋅ B(m, n)
B(m, n ⋅ s) = B(m, n) ⋅ s
for all m in M, n in N, r in R and s in S, as well as B being additive in each argument.
An immediate consequence of the definition is that B(v, w) = 0X whenever v = 0V or w = 0W. This may be seen by writing the zero vector 0V as 0 ⋅ 0V (and similarly for 0W) and moving the scalar 0 "outside", in front of B, by linearity.
The set L(V, W; X) of all bilinear maps is a linear subspace of the space (viz. vector space, module) of all maps from V × W into X.
If V, W, X are finite-dimensional, then so is L(V, W; X).
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Application bilinéaire
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Matrice (mathématiques)
thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
Espace vectoriel
vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
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