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Concept
Injections de Sobolev
Résumé
En mathématiques, les inégalités de Sobolev sont des résultats mettant en relation des normes dont celles des espaces de Sobolev. Ces inégalités sont utilisées pour démontrer le théorème de plongement de Sobolev (injection), qui permet d'énoncer des inclusions entre certains espaces de Sobolev, mais aussi le théorème de Rellich – Kondrachov qui montre que dans des conditions légèrement plus fortes, certains espaces de Sobolev peuvent s'injecter de manière compacte dans d'autres espaces. Elles portent le nom du mathématicien Sergueï Lvovitch Sobolev.
vignette|250x250px| Représentation graphique des conditions de plongement. L'espace , représenté par un rond bleu au point , s'injecte dans les espaces indiqués par des points rouges, le tout reposant sur une droite de pente . Le cercle blanc en indique l'impossibilité de plongements optimaux dans .
Soit , l'espace de Sobolev constitué des fonctions à valeurs réelles sur dont les k premières dérivées faibles sont dans dans Lp. Ici k est un entier non négatif et . La première partie du théorème de plongement de Sobolev stipule que si , et sont deux nombres réels tels que
alors
et ce plongement est continu. Dans le cas particulier où et , on a :
où est l'exposant conjugué au sens de Sobolev de p, donné par
Ce cas particulier d'injection de Sobolev est une conséquence directe de l'inégalité de Gagliardo–Nirenberg–Sobolev. Le résultat doit être interprété comme le fait que si une fonction dans a une dérivée dans , alors lui-même a un comportement local plus régulier, autrement dit, il appartient à l'espace où . (Noter que , de sorte que . ) Ainsi, toute singularité locale dans sera plus régulière que celles des fonctions de en général.
vignette|250x250px| Si la ligne de l'image ci-dessus coupe l'axe des ordonnées à s = r + α, le plongement dans un espace de Hölder (rouge) est valable. Les cercles blancs indiquent les points d'intersection auxquels les plongements optimaux ne sont plus valides.
La deuxième partie du théorème de plongement de Sobolev s'applique aux plongements dans les espaces de Hölder .
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