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Concept
Variété jacobienne
Résumé
En géométrie algébrique, la jacobienne d'une courbe est une variété algébrique (en fait une variété abélienne) qui paramètrise les diviseurs de degré 0 sur . C'est un objet fondamental pour l'étude des courbes, et c'est aussi un exemple de variété abélienne qui sert de variété test.
On fixe une courbe algébrique projective lisse de genre au moins 1 sur un corps . Dans une première approximation, on peut dire que sa jacobienne est une variété algébrique dont les points correspondent aux diviseurs de degré 0 sur modulo équivalence rationnelle. Comme ces derniers forment naturellement un groupe, est même un groupe algébrique.
De façon rigoureuse: on considère le foncteur de Picard (faisceautisé) . Ce foncteur est représentable par un schéma en groupes lisse localement de type fini. La composante connexe de l'élément neutre, notée est appelée la jacobienne de .
On montre que est une variété abélienne.
On note par le groupe des diviseurs de degré 0 sur modulo équivalence rationnelle. Par construction, on a un
homomorphisme de groupes injectif
dont le conoyau est un sous-groupe du groupe de Brauer de k. Supposons pour simplifier que admet un point rationnel P. Alors l'homomorphisme ci-dessus est un isomorphisme. En particulier, sur la clôture algébrique de , on a toujours un isomorphisme de groupes
Exemple Si est une courbe de genre 1, alors est une courbe elliptique, isomorphe à comme variétés algébriques si admet un point rationnel.
est une variété abélienne de dimension si est le genre de .
Si possède un point rationnel , alors on a une immersion fermée qui envoie sur 0 (élément neutre de ) et tout point rationnel sur la classe du diviseur de degré 0 dans . De plus tout morphisme dans une variété abélienne qui envoie sur 0 se factorise en et un morphisme de variétés abéliennes .
Sous l'hypothèse ci-dessus, pour tout entier positif , il existe un morphisme du produit symétrique (le quotient de par le groupe symétrique opérant par 'permutation des coordonnées') dans la jacobienne.
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