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Concept
Variété abélienne
Résumé
En mathématiques, et en particulier, en géométrie algébrique et géométrie complexe, une variété abélienne A est une variété algébrique projective qui est un groupe algébrique. La condition de est l'équivalent de la compacité pour les variétés différentielles ou analytiques, et donne une certaine rigidité à la structure. C'est un objet central en géométrie arithmétique.
Une variété abélienne sur un corps k est un groupe algébrique A sur k, dont la variété algébrique sous-jacente est projective, connexe et géométriquement réduite. Cette dernière condition veut dire que lorsque l'on étend le corps de base k à une clôture algébrique de k, la nouvelle variété est réduite (cela implique que A est réduite). Si
k est de caractéristique nulle, la condition "géométriquement réduite" est automatiquement satisfaite pour tout groupe algébrique sur k (Théorème de Cartier).
Exemple : Les variétés abéliennes de dimension 1 sont les courbes elliptiques.
La jacobienne d'une courbe algébrique projective non-singulière géométriquement connexe, de genre g, est une variété abélienne de dimension g.
Si A est une variété abélienne de dimension sur C, alors A(C) est naturellement une variété analytique complexe, et même un groupe de Lie. C'est le quotient (au sens de la géométrie analytique complexe) de C par un réseau , le quotient admettant un plongement dans un espace projectif.
Une variété abélienne est toujours non-singulière, et la loi de groupe sur est commutative.
Si et sont des variétés abéliennes sur , et si est un morphisme de variétés algébriques qui envoie le zéro de sur le zéro de , alors est un homomorphisme de groupes algébriques (c'est-à-dire que est compatible avec les structures de groupes algébriques sur et ).
Structure de la torsion
Si A est une variété abélienne de dimension g définie sur un corps k et si n est un entier naturel premier à la caractéristique de k, alors l'ensemble des éléments de A à coordonnées dans une clôture algébrique de k et qui sont d'ordre divisant n (c'est donc le noyau de l'application multiplication par n dans le groupe ) est un groupe fini, isomorphe à .
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