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Concept
Transformation conforme
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie et en analyse complexe, une transformation conforme est une bijection qui conserve localement les angles, c'est-à-dire qui se comporte au voisinage de chaque point où elle est définie presque comme une similitude.
Dans le plan, les transformations conformes qui conservent les angles orientés ont une telle utilité qu'il est fréquent qu'elles soient les seules baptisées du terme de conformes. Elles se confondent alors avec les bijections holomorphes. Les transformations conformes indirectes sont, dans ce cas, appelées transformations anticonformes.
On rencontre les transformations conformes en géométrie différentielle, dans des problèmes d'électrostatique ou dans la résolution de l'équation de Poisson, en mécanique des fluides pour modéliser des écoulements, et en cartographie.
La notion de transformation conforme se généralise à des espaces de dimension supérieure à 2, mais elle y perd un peu de sa diversité.
Une transformation conforme dans le plan, f est une transformation d'un domaine du plan dans un plan, cette transformation conservant (localement) les angles entre deux courbes orientées, c'est-à-dire que si deux courbes et se coupent en A, et que leurs vecteurs tangents en A (dans le sens de l'orientation) forment un angle , les vecteurs tangents en f(A) aux deux courbes images et forment également l'angle . Autrement dit, f est localement une similitude directe.
Les transformations qui inversent les angles sont dites anticonformes ; ce sont les composées des précédentes par les réflexions.
Si une transformation fait correspondre un point à un point m, elle peut s'interpréter dans le plan complexe comme une relation entre les affixes de ces deux points (en gardant la même notation pour les deux fonctions).
On peut prouver qu'une fonction holomorphe conserve les angles orientés en tout point où sa dérivée est non nulle et que réciproquement, une fonction différentiable de différentielle non nulle et conservant les angles orientés est nécessairement holomorphe de dérivée non nulle.
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