En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le lemme de Schur est un lemme technique utilisé particulièrement dans la théorie de la représentation des groupes.
Il a été démontré en 1907 par Issai Schur dans le cadre de ses travaux sur la théorie des représentations d'un groupe fini.
Ce lemme est à la base de l'analyse d'un caractère d'une représentation d'un groupe fini ; il permet, par exemple, de caractériser les groupes abéliens finis.
Représentation de groupe
Le lemme de Schur représente l'un des fondements de la théorie des représentations d'un groupe fini et de l'analyse de l'algèbre des modules semi-simples.
Une représentation d'un groupe G dans un espace vectoriel E de dimension finie n est la donnée d'un morphisme ρ de G dans le groupe linéaire GL(E) des automorphismes de E. Cette approche initiée par Ferdinand Georg Frobenius dans un article de 1896 s'avère fructueuse.
Trois ans plus tard, Heinrich Maschke démontre que toute représentation est somme directe de représentations irréductibles. Une représentation (E, ρ) est dite irréductible si les sous-espaces E et {0} sont distincts et sont les deux seuls sous-espaces stables par les automorphismes ρ(g), g décrivant G. Le théorème de Maschke énonce que, si la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G, alors toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles. Connaître toutes les représentations d'un groupe fini revient donc à connaître ses représentations irréductibles, les autres s'obtiennent par somme directe.
Le lemme de Schur est un lemme technique essentiel pour la démonstration d'un résultat majeur : les représentations irréductibles s'identifient par leur caractère, et ces caractères sont orthogonaux deux à deux. Cette approche apporte des résultats importants pour la théorie des groupes finis. Elle a finalement permis la classification des groupes simples, mais aussi la démonstration de résultats comme une conjecture de William Burnside stipulant que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble.
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La théorie des représentations est une branche des mathématiques qui étudie les structures algébriques abstraites en représentant leurs éléments comme des transformations linéaires d'espaces vectoriels, et qui étudie les modules sur ces structures algébriques abstraites. Essentiellement, une représentation concrétise un objet algébrique abstrait en décrivant ses éléments par des matrices et les opérations sur ces éléments en termes d'addition matricielle et de produit matriciel.
In ring theory, a branch of mathematics, an idempotent element or simply idempotent of a ring is an element a such that a2 = a. That is, the element is idempotent under the ring's multiplication. Inductively then, one can also conclude that a = a2 = a3 = a4 = ... = an for any positive integer n. For example, an idempotent element of a matrix ring is precisely an idempotent matrix. For general rings, elements idempotent under multiplication are involved in decompositions of modules, and connected to homological properties of the ring.
Un module M sur un anneau A est dit simple ou irréductible si M n'est pas le module nul et il n'existe pas de sous-modules de M en dehors de {0} et M. Les Z-modules simples sont les groupes abéliens simples, c'est-à-dire les groupes cycliques d'ordre premier. Les espaces vectoriels simples (sur un corps non nécessairement commutatif) sont les droites vectorielles. Étant donné un anneau A et I un idéal à gauche non nul de A, I est un A-module simple si et seulement si I est un idéal minimal à gauche.