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Concept
Lemme de Schur
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, le lemme de Schur est un lemme technique utilisé particulièrement dans la théorie de la représentation des groupes.
Il a été démontré en 1907 par Issai Schur dans le cadre de ses travaux sur la théorie des représentations d'un groupe fini.
Ce lemme est à la base de l'analyse d'un caractère d'une représentation d'un groupe fini ; il permet, par exemple, de caractériser les groupes abéliens finis.
Représentation de groupe
Le lemme de Schur représente l'un des fondements de la théorie des représentations d'un groupe fini et de l'analyse de l'algèbre des modules semi-simples.
Une représentation d'un groupe G dans un espace vectoriel E de dimension finie n est la donnée d'un morphisme ρ de G dans le groupe linéaire GL(E) des automorphismes de E. Cette approche initiée par Ferdinand Georg Frobenius dans un article de 1896 s'avère fructueuse.
Trois ans plus tard, Heinrich Maschke démontre que toute représentation est somme directe de représentations irréductibles. Une représentation (E, ρ) est dite irréductible si les sous-espaces E et {0} sont distincts et sont les deux seuls sous-espaces stables par les automorphismes ρ(g), g décrivant G. Le théorème de Maschke énonce que, si la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G, alors toute représentation de G est somme directe de représentations irréductibles. Connaître toutes les représentations d'un groupe fini revient donc à connaître ses représentations irréductibles, les autres s'obtiennent par somme directe.
Le lemme de Schur est un lemme technique essentiel pour la démonstration d'un résultat majeur : les représentations irréductibles s'identifient par leur caractère, et ces caractères sont orthogonaux deux à deux. Cette approche apporte des résultats importants pour la théorie des groupes finis. Elle a finalement permis la classification des groupes simples, mais aussi la démonstration de résultats comme une conjecture de William Burnside stipulant que tout groupe fini d'ordre impair est résoluble.
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