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Concept
Morphisme plat
Résumé
En géométrie algébrique, un morphisme de schémas peut être vu comme une famille de schémas paramétrée par les points de Y. La notion de platitude de f est une sorte de continuité de cette famille.
Un morphisme est dit plat en un point x de X si l'homomorphisme d'anneaux
induit par f est plat. On dit que f est un morphisme plat s'il est plat en tout point de X. On dit que f est fidèlement plat s'il est de plus surjectif.
Si est un faisceau quasi-cohérent sur X. On dit que est plat au-dessus de Y si pour tout x dans X, , muni de la structure de -module induite par , est plat.
Exemples
Si Y est le spectre d'un corps, alors tout morphisme de X vers Y est plat.
Si Y est le spectre d'un anneau de Dedekind, et si X est intègre, alors f est plat si et seulement si f n'est pas constant.
L'espace affine au-dessus de Y est plat car son faisceau d'algèbres est libre sur .
La projection de la deuxième des axes sur l'un des axes n'est pas un morphisme plat.
Les immersions ouvertes sont des morphismes plats.
La platitude est stable par produit: si X, Z sont plats sur Y, alors aussi.
La platitude est stable par composition et changement de base (si est plat, alors aussi pour tout ).
Supposons plat et localement de présentation finie.
L'application f est ouverte (et même universellement ouverte : pour tout , est ouvert).
Supposons de plus X, Y noethériens et irréductibles. Alors l'application est constante sur f(X).
Si f est et si est cohérent sur X, plat sur Y, alors la caractéristique d'Euler-Poincaré est localement constante sur f(X). En particulier, si f est plat et si Y est connexe, alors f est surjectif et le des fibres est constant.
Les paramètrent des familles plates de sous-schémas fermés d'un espace projectif donné et de donné. Chacune de ces familles induit un morphisme (donc application continue en particulier) de Y vers le schéma de Hilbert. C'est un exemple de continuité à valeurs non-discrèt.
Un morphisme fidèlement plat et quasi-compact ou morphisme fpqc est un morphisme de schémas, permettant de définir une qui est également une .
Source officielle
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