Topologie de la droite réellethumb|Richard Dedekind (1831 - 1916) a défini rigoureusement les nombres réels et posé les bases de leur étude topologique. La topologie de la droite réelle (ou topologie usuelle de R) est une structure mathématique qui donne, pour l'ensemble des nombres réels, des définitions précises aux notions de limite et de continuité. Historiquement, ces notions se sont développées autour de la notion de nombre (approcher des nombres comme la racine carrée de deux ou pi par d'autres plus « maniables ») et de la géométrie de la droite (à laquelle l'espace topologique des nombres réels peut être assimilé), du plan et de l'espace usuels.
Topologie de l'ordreEn mathématiques, la topologie de l'ordre est une topologie naturelle définie sur tout ensemble ordonné (E, ≤), et qui dépend de la relation d'ordre ≤. Lorsque l'on définit la topologie usuelle de la droite numérique R, deux approches équivalentes sont possibles. On peut se fonder sur la relation d'ordre dans R, ou sur la valeur absolue de la distance entre deux nombres. Les égalités ci-dessous permettent de passer de l'une à l'autre : La valeur absolue se généralise en la notion de distance, qui induit le concept de topologie d'un espace métrique.
Espace compactement engendréEn mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff. Cette notion intervient en théorie de l'homotopie, dans l'étude des CW-complexes. Un espace X est : un k-espace si toute partie « compactement fermée » de X est fermée (une partie F de X est dite compactement fermée si pour toute application continue f d'un compact K dans X, est fermé dans K) ; faiblement Hausdorff si toute application continue d'un compact dans X est fermée.
Rose (topology)In mathematics, a rose (also known as a bouquet of n circles) is a topological space obtained by gluing together a collection of circles along a single point. The circles of the rose are called petals. Roses are important in algebraic topology, where they are closely related to free groups. A rose is a wedge sum of circles. That is, the rose is the quotient space C/S, where C is a disjoint union of circles and S a set consisting of one point from each circle. As a cell complex, a rose has a single vertex, and one edge for each circle.
CW-complexeEn topologie algébrique, un CW-complexe est un type d'espace topologique, défini par J. H. C. Whitehead pour répondre aux besoins de la théorie de l'homotopie. L'idée était de travailler sur une classe d'objets plus grande que celle des complexes simpliciaux et possédant de meilleures propriétés du point de vue de la théorie des catégories, mais présentant comme eux des propriétés combinatoires se prêtant aux calculs. Le nom CW provient du qualificatif de l'espace topologique, en anglais : closure-finite weak topology, pour « à fermeture finie » et « topologie faible ».
Compactification (mathématiques)vignette|Exemple de compactification En topologie, la compactification est un procédé général de plongement d'un espace topologique comme sous-espace dense d'un espace compact. Le plongement est appelé le compactifié. Un tel plongement existe si et seulement si l'espace est complètement régulier.
Espace localement compactEn topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.
Particular point topologyIn mathematics, the particular point topology (or included point topology) is a topology where a set is open if it contains a particular point of the topological space. Formally, let X be any non-empty set and p ∈ X. The collection of subsets of X is the particular point topology on X. There are a variety of cases that are individually named: If X has two points, the particular point topology on X is the Sierpiński space. If X is finite (with at least 3 points), the topology on X is called the finite particular point topology.
Espace complètement régulierEn mathématiques, un espace complètement régulier (ou de Tikhonov) est un espace topologique vérifiant une propriété de séparation plus forte que la séparation usuelle et même que la propriété d'être régulier. Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé).
Topologie discrèteEn mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie discrète sur un ensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres. Soit X un ensemble. L'ensemble des parties de X définit une topologie sur X appelée topologie discrète. X muni de cette topologie est alors appelé espace discret. On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est un ensemble discret lorsque la topologie induite sur A est la topologie discrète.
