En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories. Produit direct (groupes)#Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliensSomme directe interne de sous-groupes abéliens Soient F et F deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. On dit que F et F sont en somme directe si, pour tout élément u de la somme F + F, il existe un unique couple (u, u) de F×F tel que u = u + u. En d'autres termes, F et F sont en somme directe si la décomposition de tout élément de F + F en somme d'un élément de F et d'un élément de F est unique. On dit aussi dans ce cas que la somme F + F est directe, et on la note alors F ⊕ F. F et F sont en somme directe si et seulement s'ils vérifient l'une des propriétés équivalentes suivantes, où 0 désigne le vecteur nul de E : pour tout u de F et u de F, u + u = 0 ⇒ u = u = 0 ; F∩F = {0} ; il existe une base de F et une base de F qui, mises bout à bout, forment une base de F + F ; n'importe quelles bases de F et de F, mises bout à bout, forment une base de F + F. Cas de la dimension finie : lorsque F et F sont de dimensions finies, la somme F + F est directe si et seulement si dim(F) + dim(F) = dim(F + F). Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F et F de E sont dits supplémentaires lorsque E = F ⊕ F. Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple (u, u) de F×F tel que u = u + u. Sous-espace supplémentaire On peut généraliser la notion de somme directe à une famille quelconque (F) de sous-espaces vectoriels de E (indexée par un ensemble I fini ou infini). On dit que cette famille est en somme directe si tout vecteur u de la somme ∑ F se décompose de façon unique sous la forme avec u ∈ F presque tous nuls ( tous sauf un nombre fini).

À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.

Graph Chatbot

Chattez avec Graph Search

Posez n’importe quelle question sur les cours, conférences, exercices, recherches, actualités, etc. de l’EPFL ou essayez les exemples de questions ci-dessous.

AVERTISSEMENT : Le chatbot Graph n'est pas programmé pour fournir des réponses explicites ou catégoriques à vos questions. Il transforme plutôt vos questions en demandes API qui sont distribuées aux différents services informatiques officiellement administrés par l'EPFL. Son but est uniquement de collecter et de recommander des références pertinentes à des contenus que vous pouvez explorer pour vous aider à répondre à vos questions.