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Concept
Somme directe
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre, le terme de somme directe désigne des ensembles munis de certaines structures, souvent construits à partir du produit cartésien d'autres ensembles du même type, et vérifiant la propriété universelle de la somme (ou « coproduit ») au sens des catégories.
Produit direct (groupes)#Somme directe interne d'une famille de sous-groupes abéliensSomme directe interne de sous-groupes abéliens
Soient F et F deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. On dit que F et F sont en somme directe si, pour tout élément u de la somme F + F, il existe un unique couple (u, u) de F×F tel que u = u + u. En d'autres termes, F et F sont en somme directe si la décomposition de tout élément de F + F en somme d'un élément de F et d'un élément de F est unique.
On dit aussi dans ce cas que la somme F + F est directe, et on la note alors F ⊕ F.
F et F sont en somme directe si et seulement s'ils vérifient l'une des propriétés équivalentes suivantes, où 0 désigne le vecteur nul de E :
pour tout u de F et u de F, u + u = 0 ⇒ u = u = 0 ;
F∩F = {0} ;
il existe une base de F et une base de F qui, mises bout à bout, forment une base de F + F ;
n'importe quelles bases de F et de F, mises bout à bout, forment une base de F + F.
Cas de la dimension finie : lorsque F et F sont de dimensions finies, la somme F + F est directe si et seulement si dim(F) + dim(F) = dim(F + F).
Sous-espaces supplémentaires : deux sous-espaces F et F de E sont dits supplémentaires lorsque E = F ⊕ F. Cela signifie que pour tout élément u de E, il existe un unique couple (u, u) de F×F tel que u = u + u.
Sous-espace supplémentaire
On peut généraliser la notion de somme directe à une famille quelconque (F) de sous-espaces vectoriels de E (indexée par un ensemble I fini ou infini). On dit que cette famille est en somme directe si tout vecteur u de la somme ∑ F se décompose de façon unique sous la forme avec u ∈ F presque tous nuls ( tous sauf un nombre fini).
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