vignette|400px|Représentation visuelle des deux configurations possibles.
Le problème P ≟ NP est une conjecture en mathématiques, et plus précisément en informatique théorique, considérée par de nombreux chercheurs comme une des plus importantes conjectures du domaine, et même des mathématiques en général. L'Institut de mathématiques Clay a inclus ce problème dans sa liste des sept problèmes du prix du millénaire, et offre à ce titre un million de dollars à quiconque sera en mesure de démontrer P = NP ou P ≠ NP ou de démontrer que ce n'est pas démontrable. Ce problème est également le troisième problème de Smale.
Très schématiquement, il s'agit de déterminer si le fait de pouvoir vérifier rapidement une solution à un problème implique de pouvoir la trouver rapidement ; ou encore, si ce que nous pouvons trouver rapidement lorsque nous avons de la chance peut être trouvé aussi vite par un calcul intelligent.
Plus précisément, il s'agit de savoir si la classe de complexité P des problèmes de décision admettant un algorithme de résolution s'exécutant en temps polynomial sur une machine de Turing est équivalente à la classe de complexité NP des problèmes de décision dont la vérification du résultat, une fois celui-ci connu, demande un temps polynomial. Un algorithme qui demande un temps d'exécution polynomial est généralement considéré comme « rapide » (par rapport à un temps d'exécution exponentiel par exemple).
À condition que le degré du polynôme issu du caractère polynomial de l'algorithme soit raisonnable, les conséquences de P = NP pourraient être considérables dans de nombreux domaines : cryptologie, informatique, mathématiques, ingénierie, économie. S'il était prouvé que P = NP, alors la résolution de tous les autres problèmes posés par l’Institut Clay pourrait devenir évidente. S'il était au contraire avéré que P ≠ NP, cela signifierait qu'une large classe de problèmes seraient presque sûrement définitivement hors d'atteinte du calcul dans un temps raisonnable (ou nécessiteraient le développement d'architectures différentes de celles des machines de Turing).
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This course constitutes an introduction to theory of computation. It discusses the basic theoretical models of computing (finite automata, Turing machine), as well as, provides a solid and mathematica
After introducing the foundations of classical and quantum information theory, and quantum measurement, the course will address the theory and practice of digital quantum computing, covering fundament
La Physique Générale I (avancée) couvre la mécanique du point et du solide indéformable. Apprendre la mécanique, c'est apprendre à mettre sous forme mathématique un phénomène physique, en modélisant l
L’optimisation combinatoire, (sous-ensemble à nombre de solutions finies de l'optimisation discrète), est une branche de l'optimisation en mathématiques appliquées et en informatique, également liée à la recherche opérationnelle, l'algorithmique et la théorie de la complexité. Dans sa forme la plus générale, un problème d'optimisation combinatoire (sous-ensemble à nombre de solutions finies de l'optimisation discrète) consiste à trouver dans un ensemble discret un parmi les meilleurs sous-ensembles (ou solutions) réalisables, la notion de meilleure solution étant définie par une fonction objectif.
En informatique théorique, un algorithme d'approximation est une méthode permettant de calculer une solution approchée à un problème algorithmique d'optimisation. Plus précisément, c'est une heuristique garantissant à la qualité de la solution qui fournit un rapport inférieur (si l'on minimise) à une constante, par rapport à la qualité optimale d'une solution, pour toutes les instances possibles du problème.
thumb|upright=1.5|Recherche exhaustive d'une 4-clique dans ce graphe à 7 sommets en testant la complétude des C(7,4)= 35 sous-graphes à 4 sommets. En informatique, le problème de la clique est un problème algorithmique qui consiste à trouver des cliques (sous-ensembles de sommets tous adjacents deux à deux, également appelés sous-graphes complets) dans un graphe. Ce problème a plusieurs formulations différentes selon les cliques et les informations sur les cliques devant être trouvées.
Dans une première partie, nous étudierons d’abord comment résoudre de manière très concrète un problème au moyen d’un algorithme, ce qui nous amènera dans un second temps à une des grandes questions d
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Introduit la complexité computationnelle, les problèmes de décision, la complexité quantique et les algorithmes probabilistes, y compris les problèmes dures au NP et les problèmes complets au NP.
We discuss two extensions to a recently introduced theory of arrays, which are based on considerations coming from the model theory of power structures. First, we discuss how the ordering relation on the index set can be expressed succinctly by referring t ...
In this thesis, we give new approximation algorithms for some NP-hard problems arising in resource allocation and network design. As a resource allocation problem, we study the Santa Claus problem (also known as the MaxMin Fair Allocation problem) in which ...
EPFL2023
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Witness encryption is a cryptographic primitive which encrypts a message under an instance of an NP language and decrypts the ciphertext using a witness associated with that instance. In the current state of the art, most of the witness encryption construc ...