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Concept
Formule intégrale de Cauchy
Résumé
vignette|Illustration de la formule intégrale de Cauchy en analyse complexe
La formule intégrale de Cauchy, due au mathématicien Augustin Louis Cauchy, est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.
Soient :
U un ouvert simplement connexe du plan complexe C ;
f : U → C une fonction holomorphe sur U ;
γ un chemin fermé rectifiable inclus dans U ;
et z un point de U n'appartenant pas à ce chemin.
On a alors la formule suivante :
où Ind(z) désigne l'indice du point z par rapport au chemin γ. Cette formule est particulièrement utile dans le cas où γ est un cercle C orienté positivement, contenant z et inclus dans U. En effet, l'indice de z par rapport à C vaut alors 1, d'où :
Cette formule montre que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par les valeurs de cette fonction sur n'importe quel cercle entourant ce point ; un résultat analogue, la propriété de la moyenne, est vrai pour les fonctions harmoniques.
Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit , tel que .
Soit , et le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par .
On a pour tout : ,
ce qui prouve la convergence uniforme sur de la série de terme général
vers
et comme est continue sur compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série
sur ,
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r) :
avec
et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.
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