Espace de Hilbert à noyau reproduisant

Résumé

En analyse fonctionnelle, un espace de Hilbert à noyau reproduisant est un espace de Hilbert de fonctions pour lequel toutes les applications f \mapsto f(x) sont des formes linéaires continues. De manière équivalente, il existe des espaces qu'on peut définir par des noyaux reproduisants. Le sujet a été originellement et simultanément développé par Nachman Aronszajn et Stefan Bergman en 1950. Les espaces de Hilbert à noyau reproduisant sont parfois désignés sous l’acronyme issu du titre anglais RKHS, pour Reproducing Kernel Hilbert Space. Dans cet article, on suppose que les espaces de Hilbert sont complexes. La principale raison est qu'il existe de nombreux exemples d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant qui sont des espaces de fonctions analytiques complexes, même s'il existe des espaces de Hilbert réels qui ont des noyaux reproduisants. Un important sous-ensemble d'espaces de Hilbert à noyau reproduisant est constitué par les espaces de Hilbert à noyau reproduisa

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Mohamed Taher Nguira

This document presents a mathematical framerwork for delay retrieval between two signals. It treats Global and Local delay cases. It's based on E-splines and Exponential reproducing kernels properties. LCAV1601050917

2015

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We study many-body localization (MBL) in a pair-hopping model exhibiting strong fragmentation of the Hilbert space. We show that several Krylov subspaces have both ergodic statistics in the thermodynamic limit and a dimension that scales much slower than the full Hilbert space but still exponentially. Such a property allows us to study the MBL phase transition in systems including up to 64 spins. The different Krylov spaces that we consider show clear signatures of a many-body localization transition, both in the Kullback-Leibler divergence of the distribution of their level spacing ratio and their entanglement properties. However, they also present distinct scalings with the system size. Depending on the subspace, the critical disorder strength can be nearly independent of the system size or conversely show an approximately linear increase with the number of spins.

2021

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Optimal Rates of Sketched-regularized Algorithms for Least-Squares Regression over Hilbert Spaces

Volkan Cevher, Junhong Lin

We investigate regularized algorithms combining with projection for least-squares regression problem over a Hilbert space, covering nonparametric regression over a reproducing kernel Hilbert space. We prove convergence results with respect to variants of norms, under a capacity assumption on the hypothesis space and a regularity condition on the target function. As a result, we obtain optimal rates for regularized algorithms with randomized sketches, provided that the sketch dimension is proportional to the effective dimension up to a logarithmic factor. As a byproduct, we obtain similar results for Nystr"{o}m regularized algorithms. Our results are the first ones with optimal, distribution-dependent rates that do not have any saturation effect for sketched/Nystr"{o}m regularized algorithms, considering both the attainable and non-attainable cases.

ICML2018

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