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Concept
Optimisation non linéaire
Résumé
En optimisation, vue comme branche des mathématiques, l'optimisation non linéaire (en anglais : nonlinear programming – NLP) s'occupe principalement des problèmes d'optimisation dont les données, i.e., les fonctions et ensembles définissant ces problèmes, sont non linéaires, mais sont aussi différentiables autant de fois que nécessaire pour l'établissement des outils théoriques, comme les conditions d'optimalité, ou pour la bonne marche des algorithmes de résolution qui y sont introduits et analysés. Cette sous-discipline de l'optimisation, à la frontière mal définie et l'introduction un peu artificielle,
Elle complémente l'optimisation non lisse (ou non différentiable), Ces deux disciplines se rassemblent pour former ce que l'on appelle l'optimisation continue, qui jouxte, quant à elle, d'autres sous-disciplines telles que l'optimisation combinatoire (ou discrète), l'optimisation stochastique, etc.
On a une fonction , avec . L'objectif est de déterminer le vecteur x défini par :
De façon équivalente, on peut rechercher la valeur pour laquelle f est maximale :
Si la fonction est convexe ou concave, et l'ensemble des contraintes est convexe, alors il existe des méthodes spécialisées, appelées méthodes d'optimisation convexe.
Sinon, il existe plusieurs solutions. Par exemple, utilisant le principe de séparation et évaluation pour diviser et traiter séparément plusieurs paramètres.
L'algorithme peut également être arrêté avant d'aboutir, si on peut prouver qu'aucune solution ultérieure ne sera meilleure à un certain seuil de tolérance près. Les conditions de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) garantissent qu'une solution ainsi obtenue est optimale.
On utilise des algorithmes de résolution tels que :
la méthode de Newton,
la méthode de quasi-Newton,
la méthode du gradient conjugué,
la recherche linéaire,
les régions de confiance,
la méthode de Nelder-Mead,
...
Si les contraintes s'expriment sous la forme d'inégalités
on peut utiliser la méthode de la « barrière logarithmique ».
Source officielle
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