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Concept
Théorème de Dandelin
Résumé
En mathématiques, le théorème de Dandelin, ou théorème de Dandelin-Quetelet ou théorème belge sur la section conique, est un théorème portant sur les coniques.
Le théorème de Dandelin énonce que, si une ellipse ou une hyperbole est obtenue comme section conique d'un cône de révolution par un plan, alors :
il existe deux sphères à la fois tangentes au cône et au plan de la conique (de part et d'autre de ce plan pour l'ellipse et d'un même côté de ce plan pour l'hyperbole) ;
les points de tangence des deux sphères au plan sont les foyers de la conique ;
les directrices de la conique sont les intersections du plan de la conique avec les plans contenant les cercles de tangences des sphères avec le cône.
Apollonius, déjà au , définit les coniques comme étant les formes obtenues en glissant un plan au travers d’un cône dans tous les angles possibles. On peut alors obtenir un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Il leur découvre également des propriétés focales et en définit l'excentricité, mais on a malheureusement perdu les traces de ses œuvres à ce sujet.
Alors que les propriétés des coniques semblaient bien connues, le mathématicien belge Germinal Pierre Dandelin découvrit en 1822 son théorème, qui donne une manière particulièrement élégante de relier la définition des coniques par foyer et directrice avec la définition par section conique.
Une ellipse peut être définie de trois façons :
le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes est une constante strictement supérieure à la distance entre les deux points ;
le lieu des points du plan dont le rapport des distances à un point fixe et à une droite ne passant pas par le point est constant et inférieur à 1 ;
une des courbes obtenue par l'intersection d'un cône par un plan.
Soit P un point quelconque de la section conique. Soient également G1 et G2 les deux sphères qui sont tangentes au cône et au plan sécant. Leurs intersections avec le cône forment deux cercles nommés respectivement k1 et k2, et avec le plan deux points nommés F1 et F2.
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