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Concept
Ordre monomial
Résumé
En mathématiques, un ordre monomial est un ordre total sur l'ensemble des monômes d'un anneau de polynômes donné, compatible avec la multiplication, c'est-à-dire :
Pour tout monôme , si deux monômes et satisfont selon l'ordre monomial, alors .
Les ordres monomiaux sont le plus souvent utilisés pour le calcul des bases de Gröbner et la division multivariée. En particulier, la propriété dêtre une base de Gröbner est toujours relative à un ordre monomial spécifique.
En plus d'être compatible avec la multiplication, les ordres monomiaux doivent souvent être de bons ordres, car cela garantit que l'algorithme de division multivariée termine. Il existe cependant des applications pratiques pour les relations d'ordre compatibles avec la multiplication, mais qui ne sont pas des bons ordres.
Dans le cas d'un nombre fini de variables, le fait qu'un ordre monomial soit un bon ordre équivaut à la conjonction des deux conditions suivantes :
L'ordre est une ordre total.
Si u est un monôme alors .
Ces conditions sont parfois préférées pour définir un ordre monomial, étant donné qu'il est parfois préférable de les vérifier pour un ordre monomial explicite, que de prouver directement qu'il s'agit d'un bon ordre.
L'ordre peut aussi être défini de manière équivalente sur les t-uple des coefficients de chacune des variables de l'anneau : si l'anneau des polynômes est (sans perte de généralité, l'anneau est construit sur deux variables et les polynômes sont alors bivariés en les variables et ), les monômes d'un polynôme sont de la forme avec les exposants et entiers positifs. La définition d'un bon ordre monomial sur les couples est alors :
L'ordre est un ordre total.
est l'élement minimal pour cet ordre.
Le choix d'un ordre total sur les monômes permet de trier les termes d'un polynôme. Le terme de tête d'un polynôme est alors le terme du plus grand monôme pour l'ordre monomial choisi.
Concrètement, soit un anneau de polynômes quelconque. Alors l'ensemble des monômes de est une base de , considérée comme un espace vectoriel sur le corps des coefficients.
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