Système linéaire

Un système linéaire (le terme système étant pris au sens de l'automatique, à savoir un système dynamique) est un objet du monde matériel qui peut être décrit par des équations linéaires (équations linéaires différentielles ou aux différences), ou encore qui obéit au principe de superposition : toute combinaison linéaire des variables de ce système est encore une variable de ce système. Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant (quand c'est possible) un système non linéaire autour d'un point d'équilibre ou d'une trajectoire, on obtient un système linéaire qui représente correctement le système non linéaire au voisinage de ce point d'équilibre ou de cette trajectoire Dans certains problèmes où interviennent des systèmes non linéaires du second ordre, il peut être commode d'utiliser la « linéarisation équivalente », parfois dite « optimale ».. La linéarisation d'un système non linéaire autour d'une trajectoire non réduite à un point d'équilibre engendre un système linéaire à coefficients variables (en fonction de temps), d'où l'importance qu'a pris ce type de systèmes et les études récentes qui lui ont été consacrées. Souvent (mais pas toujours), on distingue parmi les variables d'un système S les variables d'entrée, rassemblées dans une colonne u, et les variables de sortie, rassemblées dans une colonne y ; le triplet est alors appelé un système commandé ou encore une dynamique. Les systèmes linéaires n'ont tout d'abord été étudiés que dans le cas stationnaire (également appelé « invariant ») dans le formalisme des fonctions de transfert. Cette approche est parvenue à sa pleine maturité avec la publication du célèbre livre de Bode à la fin de la seconde guerre mondiale (réédité depuis). Les travaux de Bellman, Pontryagin et ses collaborateurs et surtout de Kalman ont conduit nombre d'automaticiens à privilégier la représentation d'état à partir des années 1960.