Coordonnées barycentriques

En géométrie affine, les coordonnées barycentriques d'un point par rapport à un repère barycentrique sont une famille de poids permettant de définir ce point comme un barycentre. Repère affine Une famille finie (P,...,P) de points d'un espace affine E est dite affinement libre, ou encore ces points sont dits affinement indépendants, quand aucun des points P n'appartient au sous-espace affine engendré par les k autres points. Dans le cas contraire il est dit affinement lié. Par exemple deux points distincts forment une famille affinement libre, de même 3 points non alignés, et 4 points non coplanaires. De façon équivalente une famille finie (P,...,P) est affinement libre quand l'une des conditions suivantes est réalisée : aucun des points P n'est barycentre des autres points ; la famille de vecteurs est libre (ou la condition analogue en prenant n'importe lequel des P comme origine). Il suit de la seconde condition et des propriétés des familles libres des espaces vectoriels qu'une famille affinement libre d'un espace affine de dimension finie n est d'ordre au plus n + 1. On appelle alors base affine (et très souvent repère affine) une famille affinement libre maximale, et la seconde condition devient : Une base affine d'un espace affine E de dimension finie n est donc une famille affine libre (P,...,P) de n + 1 points. Ainsi 2 points distincts d'une droite forment une base affine de celle-ci, 3 points non alignés d'un plan forment une base affine de ce plan, 4 points non coplanaires d'un espace de dimension 3 une base de celui-ci, etc. L'espace affine engendré par (P,...,P), c'est-à-dire le plus petit sous-espace affine contenant ces points, est l'espace affine E tout entier si ces points forment une base affine de E. vignette|L'isobarycentre G des 3 points non alignés (A,B,C) a pour coordonnées barycentriques dans ce repère du plan (1,1,1) ou, en coordonnées normalisées, Soit (P,...,P) une base affine, encore appelée repère barycentrique ou encore repère affine d'un espace affine E.