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Concept
Foncteur représentable
Résumé
On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple.
Soit une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable s'il existe un objet X de tel que F soit isomorphe au foncteur , respectivement au foncteur .
Les transformations naturelles de dans F correspondent bijectivement aux éléments de .
Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par (où est un élément de F(X)) lorsque est un isomorphisme de foncteur.
Somme
Soit une catégorie, A et B deux objets de . On considère le foncteur de dans Ens qui à X associe . Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.
Module libre, groupe libre, groupe abélien libre, monoïde libre, polynômes.
Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre)
qui à un A-module (respectivement toute la ribambelle) associe est représentable. On obtient le A-module libre , respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif , le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminées.
Complété
Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espaces métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.
Compactifié de Stone-Čech
Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.
Produit tensoriel
Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de dans G.
Produit
Soit une catégorie, A et B deux objets de .
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Préfaisceau (théorie des catégories)
En théorie des catégories — une branche des mathématiques — la notion de préfaisceau généralise celle du même nom en géométrie algébrique. Les préfaisceaux y sont des objets particulièrement courants et donnent lieu à la notion de topos sur un site. Soient et des catégories, un préfaisceau de à valeurs dans est un foncteur : de la catégorie opposée à dans . De manière strictement équivalente, c'est un foncteur contravariant de dans .