Concept

Difféomorphisme

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Banach manifold

In mathematics, a Banach manifold is a manifold modeled on Banach spaces. Thus it is a topological space in which each point has a neighbourhood homeomorphic to an open set in a Banach space (a more involved and formal definition is given below). Banach manifolds are one possibility of extending manifolds to infinite dimensions. A further generalisation is to Fréchet manifolds, replacing Banach spaces by Fréchet spaces. On the other hand, a Hilbert manifold is a special case of a Banach manifold in which the manifold is locally modeled on Hilbert spaces.

Difféotopie

En mathématiques, une difféotopie est une classe d'équivalence pour la relation d’isotopie entre difféomorphismes sur une variété différentielle. Plus explicitement, étant donnés deux difféomorphismes sur une telle variété M, c’est-à-dire deux applications φ, φ : M → M différentiables et bijectives avec des réciproques différentiables, on dit que ces difféomorphismes sont isotopes s’il existe une famille de difféomorphismes φ pour t ∈ ]0, 1[ telle que Φ : (t, x) ↦ φ(x) définisse une application différentiable sur [0, 1] × M.

Théorème d'inversion locale

En mathématiques, le théorème d'inversion locale est un résultat de calcul différentiel. Il indique que si une fonction f est continûment différentiable en un point, si sa différentielle en ce point est inversible alors, localement, f est inversible et son inverse est différentiable. Ce théorème est équivalent à celui des fonctions implicites, son usage est largement répandu. On le trouve par exemple utilisé, sous une forme ou une autre, dans certaines démonstrations des propriétés du multiplicateur de Lagrange.

Submanifold

In mathematics, a submanifold of a manifold M is a subset S which itself has the structure of a manifold, and for which the inclusion map S → M satisfies certain properties. There are different types of submanifolds depending on exactly which properties are required. Different authors often have different definitions. In the following we assume all manifolds are differentiable manifolds of class Cr for a fixed r ≥ 1, and all morphisms are differentiable of class Cr.

Identity component

In mathematics, specifically group theory, the identity component of a group G refers to several closely related notions of the largest connected subgroup of G containing the identity element. In point set topology, the identity component of a topological group G is the connected component G0 of G that contains the identity element of the group. The identity path component of a topological group G is the path component of G that contains the identity element of the group.

Hilbert manifold

In mathematics, a Hilbert manifold is a manifold modeled on Hilbert spaces. Thus it is a separable Hausdorff space in which each point has a neighbourhood homeomorphic to an infinite dimensional Hilbert space. The concept of a Hilbert manifold provides a possibility of extending the theory of manifolds to infinite-dimensional setting. Analogously to the finite-dimensional situation, one can define a differentiable Hilbert manifold by considering a maximal atlas in which the transition maps are differentiable.

Théorème de la boule chevelue

En mathématiques, le théorème de la boule chevelue est un résultat de topologie différentielle. Il s'applique à une sphère supportant en chaque point un vecteur, imaginé comme un cheveu, tangent à la surface. Il affirme que la fonction associant à chaque point de la sphère le vecteur admet au moins un point de discontinuité, ce qui revient à dire que la coiffure contient un épi, ou qu'il y a des cheveux nuls, c'est-à-dire de la calvitie. De manière plus rigoureuse, un champ de vecteurs continu sur une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point.

Propriété locale

On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée en un point d'un espace topologique s'il existe un système fondamental de voisinages de ce point sur lequel la propriété est vraie. On dit d'une certaine propriété mathématique qu'elle est localement vérifiée si elle est localement vérifiée en tout point de l'espace topologique considéré. Cette notion se retrouve dans tous les domaines des mathématiques qui utilisent la topologie, en particulier en analyse.

Smooth structure

In mathematics, a smooth structure on a manifold allows for an unambiguous notion of smooth function. In particular, a smooth structure allows one to perform mathematical analysis on the manifold. A smooth structure on a manifold is a collection of smoothly equivalent smooth atlases. Here, a smooth atlas for a topological manifold is an atlas for such that each transition function is a smooth map, and two smooth atlases for are smoothly equivalent provided their union is again a smooth atlas for This gives a natural equivalence relation on the set of smooth atlases.

Espace de Teichmüller

En mathématiques, l'espace de Teichmüller d'une surface (réelle) topologique (ou différentielle) , est un espace qui paramétrise des structures complexes sur à l'action des homéomorphismes isotopes à l'identité près. Les espaces Teichmüller portent le nom d'Oswald Teichmüller. Chaque point d'un espace de Teichmüller peut être considérée comme une classe d'isomorphismes de surfaces de Riemann "marquées", où un "marquage" est une classe d'isotopie d'homéomorphismes de sur lui-même.