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Concept
Échantillonnage préférentiel
Résumé
L'échantillonnage préférentiel, en anglais importance sampling, est une méthode de réduction de la variance qui peut être utilisée dans la méthode de Monte-Carlo. L'idée sous-jacente à l'échantillonnage préférentiel, EP dans la suite, est que certaines valeurs prises par une variable aléatoire dans une simulation ont plus d'effet que d'autres sur l'estimateur recherché. Si ces valeurs importantes se réalisent plus souvent, la variance de notre estimateur peut être réduite.
Par conséquent la méthode de l'EP est de choisir une loi qui « encourage » les valeurs importantes. L'utilisation d'une loi biaisée conduira à un estimateur biaisé si nous l'appliquons directement aux simulations. Cependant, les différentes simulations sont pondérées afin de corriger ce biais ; l'estimateur EP est alors sans biais. Le poids qui est donné à chaque simulation est le ratio de vraisemblance, qui est la densité de Radon-Nikodym de la vraie loi par rapport à la loi biaisée.
Le point fondamental dans l'implémentation d'une simulation utilisant l'EP est le choix de la loi biaisée. Choisir ou créer une bonne loi biaisée est l'art des EP. L'avantage peut alors être une énorme économie de temps de calculs alors que l'inconvénient pour une mauvaise loi peut être des calculs plus longs qu'une simple simulation de Monte-Carlo.
Méthode de Monte-Carlo
On souhaite estimer une quantité G, qui s'exprime sous la forme d'une intégrale :
On considère ici une intégration en dimension 1, mais on peut généraliser à une dimension quelconque.
Le principe de base des méthodes de Monte-Carlo est de voir l'intégrale précédente comme
où X est une variable aléatoire uniformément distribuée sur [a;b] et sa densité.
Si on dispose d'un échantillon , indépendant et identiquement distribué (i.i.d.) selon , on peut estimer G par :
Il s'agit d'un estimateur de G non-biaisé (c'est-à-dire que ) et consistant (d'après la loi des grands nombres).
Source officielle
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