Inférence bayésienne

vignette|Illustration comparant les approches fréquentiste et bayésienne (Christophe Michel, 2018). L’inférence bayésienne est une méthode d'inférence statistique par laquelle on calcule les probabilités de diverses causes hypothétiques à partir de l'observation d'événements connus. Elle s'appuie principalement sur le théorème de Bayes. Le raisonnement bayésien construit, à partir d'observations, une probabilité de la cause d'un type d'événements. On attribue à toute proposition de cause une valeur de sa probabilité, prise dans l'intervalle ouvert allant de 0 (contradiction, faux à coup sûr) à 1 (tautologie, vraie à coup sûr). Quand un événement possède plus de deux causes possibles, on considère une distribution de probabilité pour ces causes. Cette distribution est révisée à chaque nouvelle observation et s'affine de plus en plus. Ainsi, un diagnostic médical indique-t-il qu'une maladie plus qu'une autre est probablement à l'origine des symptômes d'un patient, et des examens renforcent ou infirment cette hypothèse. On révise de même, au vu des résultats de chaque sondage d'une campagne de prospection, la probabilité qu'il existe un gisement de pétrole à un certain endroit. Le théorème de Cox-Jaynes formalise la notion intuitive de plausibilité sous une forme numérique. Il démontre que, si les plausibilités satisfont à l'ensemble d'hypothèses qu'il propose, la seule façon cohérente de les manipuler est d'utiliser un système isomorphe à la théorie des probabilités, induisant alors une interprétation « logique » des probabilités indépendante de celle de fréquence et une base rationnelle au mécanisme d'induction logique. L'inférence bayésienne produit une probabilité qui s'interprète comme le degré de confiance à accorder à une cause hypothétique. On l'utilise pour l'apprentissage automatique en intelligence artificielle. L'inférence bayésienne effectue des calculs sur les énoncés probabilistes. Ces énoncés doivent être clairs et concis afin d'éviter toute confusion. L'inférence bayésienne est particulièrement utile dans les problèmes d'induction.

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In statistics and signal processing, the orthogonality principle is a necessary and sufficient condition for the optimality of a Bayesian estimator. Loosely stated, the orthogonality principle says that the error vector of the optimal estimator (in a mean square error sense) is orthogonal to any possible estimator. The orthogonality principle is most commonly stated for linear estimators, but more general formulations are possible. Since the principle is a necessary and sufficient condition for optimality, it can be used to find the minimum mean square error estimator.

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HIERARCHICAL MARKOV CHAIN MONTE CARLO METHODS FOR BAYESIAN INVERSE PROBLEMS

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This thesis is devoted to the construction, analysis, and implementation of two types of hierarchical Markov Chain Monte Carlo (MCMC) methods for the solution of large-scale Bayesian Inverse Problems

EPFL2022

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Pseudo-aléatoire

thumb|Représentation graphique d'une suite pseudoaléatoire. Le terme pseudo-aléatoire est utilisé en mathématiques et en informatique pour désigner une suite de nombres qui s'approche d'un aléa statistiquement parfait. Les procédés algorithmiques utilisés pour la créer et les sources employées font que la suite ne peut être complètement considérée comme aléatoire. La majorité des nombres pseudo-aléatoires en informatique sont créés à partir d'algorithmes qui produisent une séquence de nombres présentant certaines propriétés du hasard.

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vignette|Une régression linéaire. Les statistiques, dans le sens populaire du terme, traitent à l'aide des mathématiques l'étude de groupe d'une population. En statistique descriptive, on se contente de décrire un échantillon à partir de grandeurs comme la moyenne, la médiane, l'écart type, la proportion, la corrélation, etc. C'est souvent la technique qui est utilisée dans les recensements. Dans un sens plus large, la théorie statistique est utilisée en recherche dans un but inférentiel.

Statistique bayésienne

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