In mathematics, the multiplication theorem is a certain type of identity obeyed by many special functions related to the gamma function. For the explicit case of the gamma function, the identity is a product of values; thus the name. The various relations all stem from the same underlying principle; that is, the relation for one special function can be derived from that for the others, and is simply a manifestation of the same identity in different guises.
The multiplication theorem takes two common forms. In the first case, a finite number of terms are added or multiplied to give the relation. In the second case, an infinite number of terms are added or multiplied. The finite form typically occurs only for the gamma and related functions, for which the identity follows from a p-adic relation over a finite field. For example, the multiplication theorem for the gamma function follows from the Chowla–Selberg formula, which follows from the theory of complex multiplication. The infinite sums are much more common, and follow from characteristic zero relations on the hypergeometric series.
The following tabulates the various appearances of the multiplication theorem for finite characteristic; the characteristic zero relations are given further down. In all cases, n and k are non-negative integers. For the special case of n = 2, the theorem is commonly referred to as the duplication formula.
The duplication formula and the multiplication theorem for the gamma function are the prototypical examples. The duplication formula for the gamma function is
It is also called the Legendre duplication formula or Legendre relation, in honor of Adrien-Marie Legendre. The multiplication theorem is
for integer k ≥ 1, and is sometimes called Gauss's multiplication formula, in honour of Carl Friedrich Gauss. The multiplication theorem for the gamma functions can be understood to be a special case, for the trivial Dirichlet character, of the Chowla–Selberg formula.
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vignette|Fonction zêta de Hurwitz En mathématiques, la fonction zêta de Hurwitz est une des nombreuses fonctions zêta. Elle est définie, pour toute valeur q du paramètre, nombre complexe de partie réelle strictement positive, par la série suivante, convergeant vers une fonction holomorphe sur le demi-plan des complexes s tels que Re(s) > 1 : Par prolongement analytique, s'étend en une fonction méromorphe sur le plan complexe, d'unique pôle s = 1. est la fonction zêta de Riemann. où Γ désigne la fonction Gamma.
En mathématiques, la fonction digamma ou fonction psi est définie comme la dérivée logarithmique de la fonction gamma : À la suite des travaux d'Euler sur la fonction gamma, James Stirling a introduit la fonction digamma en 1730, en la notant par Ϝ, la lettre grecque digamma (majuscule). Elle fut par la suite étudiée par Legendre, Poisson et Gauss vers 1810 ; la convergence de la série de Stirling pour cette fonction a été démontrée par Stern en 1847. Elle est désormais le plus souvent notée par la lettre ψ (psi minuscule).
En analyse mathématique, il existe plusieurs définitions de fonctions gamma incomplètes : pour un paramètre complexe a de partie réelle strictement positive, La dérivée de la fonction gamma incomplète Γ(a, x) par rapport à x est l'opposée de l'intégrande de sa définition intégrale : La dérivée par rapport au paramètre a est donnée par et la dérivée seconde par où la fonction T(m, a, x) est un cas particulier de la Ce cas particulier possède des propriétés internes de fermeture qui lui sont propres parce qu'
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