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Concept
Produit direct
Résumé
La plupart des structures algébriques permettent de construire de façon très simple une structure produit sur le produit cartésien des ensembles sous-jacents. Plus généralement, . C'est le cas de la topologie produit dans la catégorie des espaces topologiques.
Soient E un ensemble muni d'une loi de composition interne et F un ensemble muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien E×F de la façon suivante :
Si et sont associatives, alors la loi est associative.
Si et sont commutatives, alors la loi est commutative.
Si admet un élément neutre e et si admet un élément neutre f, alors est neutre pour .
Si de plus x admet un symétrique x' pour et si y admet un symétrique y' pour , alors (x, y) admet (x, y) comme symétrique.
Soit (E) une famille d'ensembles, chaque E étant muni d'une loi de composition interne . On peut définir une loi de composition interne sur le produit cartésien ∏ E de la façon suivante :
Cette construction est valable que I soit un ensemble fini ou infini.
Si chaque loi est associative, la loi est associative.
Si chaque loi est commutative, la loi est commutative.
Si chaque loi possède un élément neutre e (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche), la famille (e) est neutre (respectivement neutre à droite, respectivement neutre à gauche) pour .
Si chaque loi possède un élément neutre et si dans chaque E, un élément quelconque x possède un symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche) y, alors la famille (x) admet la famille (y) comme symétrique (respectivement symétrique à droite, respectivement symétrique à gauche).
En particulier, le produit direct d'une famille de groupes est un groupe.
produit direct (groupes)
Soit (E) une famille d'ensembles, chaque E étant muni de deux lois et . On peut comme précédemment définir une loi , produit direct des
et une loi , produit direct des lois .
Si chaque loi est distributive par rapport à la loi , alors la loi est distributive par rapport à la loi .
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