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Concept
Isomorphisme
Résumé
En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse ».
Par exemple, sur l'intervalle des valeurs ... peuvent être remplacées par leur logarithme ..., et les relations d'ordre entre elles seront conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs et en prenant les exponentielles de et . Le logarithme et l'exponentielle sont des isomorphismes entre ces intervalles.
D'autres termes peuvent être utilisés pour désigner un isomorphisme en spécifiant la structure, comme l'homéomorphisme entre espaces topologiques ou le difféomorphisme entre variétés.
Deux objets sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un vers l'autre. Dans certains contextes, un isomorphisme d'un objet sur lui-même est appelé un automorphisme.
En algèbre, un isomorphisme est un morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme.
C'est donc une bijection pour laquelle les relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée). Ce « méta-concept » mathématique admet une définition formelle en théorie des catégories.
Dans une catégorie donnée, un isomorphisme est un morphisme tel qu'il existe un morphisme qui soit « inverse » de à la fois à gauche et à droite
Il suffit pour cela que possède d'une part un « inverse à gauche » et d'autre part un « inverse à droite » . En effet, on a alors
ce qui prouve en outre l'unicité de l'inverse.
En revanche, l'une ou l'autre de ces deux conditions, à elle seule, ne suffit pas.
En théorie des modèles, un homomorphisme concerne deux structures et dans un même langage .
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