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Concept
Théorème d'élimination des coupures
Résumé
En logique mathématique, le théorème d'élimination des coupures (ou Hauptsatz de Gentzen) est le résultat central établissant l'importance du calcul des séquents. Il a été initialement prouvé par Gerhard Gentzen en 1934 dans son article historique « Recherches sur la déduction logique » pour les systèmes LJ et LK formalisant la logique intuitionniste et classique, respectivement. Le théorème d'élimination des coupures stipule que toute déclaration qui possède une preuve dans le calcul des séquents, faisant usage de la règle de coupure, possède aussi une preuve sans coupure, à savoir, une preuve qui ne fait pas usage de la règle de coupure.
règle de coupure
Un séquent est une expression logique concernant plusieurs phrases, sous la forme , qui est lu prouve , et (comme déclaré par Gentzen) doit être compris comme équivalente à la proposition « Si ( et et ...) alors ( ou ou ...). » Notez que le côté gauche (CG) est une conjonction (et) et le côté droit (CD) est une disjonction (ou).
Le CG peut avoir arbitrairement plus ou moins de formules; lorsque le CG est vide, le CD devient une tautologie. Dans LK, le CD peut aussi avoir un certain nombre de formules, s'il n'en a pas, le CG est une contradiction, alors que dans LJ, le CD ne peut avoir soit qu'une formule, soit aucune: nous voyons ici qu'avoir plus d'une formule du CD est équivalent, en présence de la règle de contraction droite, à l'admissibilité du principe du tiers exclu (car est alors prouvable). Depuis la logique LC de Jean-Yves Girard, il est facile d'obtenir une formalisation assez naturelle de la logique classique où le CD contient au plus une formule.
La « coupure » est une règle du calcul des séquents, et est équivalente à une variété de règles d'autres théories de la démonstration, ce qui, étant donné
et
permet de déduire
Autrement dit, il « coupe » les occurrences de la formule hors de la relation d'inférence.
Le théorème d'élimination des coupures stipule que, pour un système donné, tout séquent prouvable en utilisant la règle de coupure peut être prouvé sans l'utilisation de cette règle.
Source officielle
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