Table de caractères (mathématiques)

En théorie des groupes, branche de l'algèbre abstraite, une table de caractères est une table à deux dimensions dont les lignes correspondent à des représentations irréductibles, et dont les colonnes correspondent aux classes de conjugaison d'éléments du groupe. Les entrées sont constituées de caractères, les traces des matrices représentant les éléments de groupe de la classe de la colonne dans la représentation de groupe de la ligne donnée. En chimie, cristallographie et spectroscopie, les tables de caractères des groupes de points sont utilisées pour classer par exemple les vibrations moléculaires selon leur symétrie, et pour prédire si une transition entre deux états est interdite pour des raisons de symétrie. De nombreux manuels de niveau universitaire sur la chimie physique, la chimie quantique, la spectroscopie et la chimie inorganique consacrent un chapitre à l'utilisation des tables de caractères des groupes de symétrie. Les caractères complexes irréductibles d'un groupe fini forment une table de caractères qui encode de nombreuses informations utiles sur le groupe G sous une forme compacte. Chaque ligne est étiquetée par un caractère irréductible et les entrées de la ligne sont les valeurs de ce caractère sur tout représentant de la classe de conjugaison respective de G (car les caractères sont des fonctions centrales). Les colonnes sont étiquetées par les (représentants des) classes de conjugaison de G. Il est d'usage d'étiqueter la première ligne par le caractère de la représentation triviale, qui est l'action triviale de G sur un espace vectoriel à 1 dimension par pour tous . Chaque entrée de la première ligne vaut donc 1. De même, il est d'usage d'étiqueter la première colonne par l'identité. Les entrées de la première colonne sont les valeurs des caractères irréductibles à l'identité, les degrés des caractères irréductibles. Les caractères de degré 1 sont appelés caractères linéaires. Voici la table des caractères de C3 = , le groupe cyclique à trois éléments et générateur u : où ω est une racine primitive troisième de l'unité.