Extension normale

En mathématiques, une extension L d'un corps K est dite normale ou quasi-galoisienne si c'est une extension algébrique et si tout morphisme de corps de L dans un corps le contenant, induisant l'identité sur K, a son image contenue dans L. De façon équivalente, l'extension L/K est normale si elle est algébrique et si tout conjugué d'un élément de L appartient encore à L. Cette propriété est utilisée pour définir une extension de Galois : c'est une extension algébrique séparable et normale. Le théorème fondamental de la théorie de Galois montre qu'il existe une correspondance féconde entre une extension finie L sur K et son groupe de Galois, si le groupe est suffisamment riche. Le groupe de Galois désigne l'ensemble des automorphismes de corps de L laissant K invariant. Soit P un polynôme à coefficients dans K avec une racine r dans L. Chaque morphisme de corps de L qui fixe K a pour image de r une autre racine de P. Pour que le groupe de Galois soit suffisamment riche, il est nécessaire que toutes ces racines soient dans L. Ce qui se traduit par le fait que tout morphisme a pour image L. Une autre condition est nécessaire, elle est liée à la séparabilité et est traitée dans l'article Extension séparable. Si les deux conditions sont réunies, alors l'extension est dite de Galois et les conditions du théorème fondamental sont réunies. Dans le cas où la séparabilité est garantie, par exemple parce que le corps K est parfait, alors il est possible de trouver une bonne extension normale. Par exemple, dans le cas d'un polynôme à coefficients dans un corps K parfait, il existe une plus petite extension normale contenant les racines du polynôme, c'est le corps de décomposition du polynôme. Le théorème fondamental de la théorie de Galois possède de nombreuses applications. Citons par exemple le théorème d'Abel-Ruffini qui donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Soit K un corps, L une extension algébrique de K.