Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkelvignette|L'appartenance En mathématiques, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel, abrégée en ZF, est une axiomatisation en logique du premier ordre de la théorie des ensembles telle qu'elle avait été développée dans le dernier quart du par Georg Cantor. L'axiomatisation a été élaborée au début du par plusieurs mathématiciens dont Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel mais aussi Thoralf Skolem.
Théorie des ensembles non bien fondésLa théorie des ensembles non bien fondés est une variante de la théorie axiomatique des ensembles qui permet aux ensembles de s'appartenir les uns aux autres sans limite. Autrement dit, c'est une théorie des ensembles qui ne satisfait pas l'axiome de fondation. Plus précisément, dans la théorie des ensembles non bien fondés, l'axiome de fondation de ZFC est remplacé par un axiome impliquant sa négation.
Cardinal mesurableEn mathématiques, un cardinal mesurable est un cardinal sur lequel existe une mesure définie pour tout sous-ensemble. Cette propriété fait qu'un tel cardinal est un grand cardinal. Un cardinal mesurable est un cardinal non dénombrable κ tel qu'il existe une mesure μ non triviale, κ-additive, à valeurs dans , définie sur tous les sous-ensembles de κ ; μ est donc une application de l'ensemble des parties de κ vers telle que : Pour toute famille (avec α
Paradoxe de CantorLe paradoxe de Cantor, ou paradoxe du plus grand cardinal, est un paradoxe de la théorie des ensembles dont l'argument a été découvert par Georg Cantor dans les années 1890. On le trouve dans sa lettre adressée à David Hilbert, datée de 1897. Il est appelé ainsi par Bertrand Russell dans ses Principles of Mathematics de 1903. Le paradoxe énonce que l'existence d'un plus grand cardinal conduit à une contradiction.
ÉquipotenceEn mathématiques, l’équipotence est une relation entre ensembles, selon laquelle deux ensembles sont équivalents lorsqu'il existe une bijection entre eux. Cette notion permet de définir la cardinalité, c'est-à-dire le nombre d'éléments d'un ensemble, qu'il soit fini ou infini. La subpotence est une relation plus faible, satisfaite lorsqu'il existe une injection entre deux ensembles. Elle permet de définir une comparaison de taille entre les ensembles, sans présupposer la construction des nombres cardinaux.
MetamathematicsMetamathematics is the study of mathematics itself using mathematical methods. This study produces metatheories, which are mathematical theories about other mathematical theories. Emphasis on metamathematics (and perhaps the creation of the term itself) owes itself to David Hilbert's attempt to secure the foundations of mathematics in the early part of the 20th century. Metamathematics provides "a rigorous mathematical technique for investigating a great variety of foundation problems for mathematics and logic" (Kleene 1952, p.
Théorie des ensembles de ZermeloLa théorie des ensembles de Zermelo, est la théorie des ensembles introduite en 1908 par Ernst Zermelo dans un article fondateur de l'axiomatisation de la théorie des ensembles moderne, mais aussi une présentation moderne de celle-ci, où les axiomes sont repris dans le langage de la logique du premier ordre, et où l'axiome de l'infini est modifié pour permettre la construction des entiers naturels de von Neumann. Cette section présente les axiomes originaux de l'article de Zermelo paru en 1908, numérotés comme dans cet article.
Positive set theoryIn mathematical logic, positive set theory is the name for a class of alternative set theories in which the axiom of comprehension holds for at least the positive formulas (the smallest class of formulas containing atomic membership and equality formulas and closed under conjunction, disjunction, existential and universal quantification). Typically, the motivation for these theories is topological: the sets are the classes which are closed under a certain topology.
Axiom of reducibilityThe axiom of reducibility was introduced by Bertrand Russell in the early 20th century as part of his ramified theory of types. Russell devised and introduced the axiom in an attempt to manage the contradictions he had discovered in his analysis of set theory. With Russell's discovery (1901, 1902) of a paradox in Gottlob Frege's 1879 Begriffsschrift and Frege's acknowledgment of the same (1902), Russell tentatively introduced his solution as "Appendix B: Doctrine of Types" in his 1903 The Principles of Mathematics.
Alternative set theoryIn a general sense, an alternative set theory is any of the alternative mathematical approaches to the concept of set and any alternative to the de facto standard set theory described in axiomatic set theory by the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. More specifically, Alternative Set Theory (or AST) may refer to a particular set theory developed in the 1970s and 1980s by Petr Vopěnka and his students.
