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Concept
Espace euclidien
Résumé
En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la géométrie traditionnelle développée par Euclide, dans ses Éléments. Une géométrie de cette nature modélise, en physique classique, le plan ainsi que l'espace qui nous entoure. Un espace euclidien permet également de traiter les dimensions supérieures ; il est défini par la donnée d'un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, muni d'un produit scalaire, qui permet de « mesurer » distances et angles.
La donnée d'un produit scalaire permet par exemple de définir la notion de bases particulières dites orthonormales, d'établir une relation canonique entre l'espace et son dual, ou de préciser des familles d'endomorphismes faciles à réduire. Il permet aussi de définir une norme et par conséquent une distance donc une topologie, ce qui met à disposition les méthodes d'analyse.
Les espaces euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cet outil et le reste des mathématiques sont multiples et variées, depuis la logique et l'algèbre jusqu'aux géométries non euclidiennes. Cet aspect est traité dans l'article « Géométrie euclidienne ».
Vecteur
Dans le cadre de la construction des vecteurs à l'aide des classes d'équivalence de bipoints sur un espace affine, une première définition du produit scalaire peut être obtenue. La norme d'un vecteur correspond à la longueur d'un bipoint représentatif, l'angle de deux vecteurs correspond à celui de deux bipoints représentatifs de même origine. La formule donnant le produit scalaire est alors :
Dans de nombreux cas en physique classique ou en géométrie analytique, si la dimension de l'espace n'est pas trop élevée (typiquement 2 ou 3), cette définition est suffisante. Toutefois, dans le cas général, ce formalisme s'avère à la fois lourd et peu adapté pour, par exemple, l'étude des propriétés topologiques d'un espace euclidien. Une deuxième approche, purement algébrique et plus abstraite, existe, et permet d'établir plus facilement des résultats plus généraux.
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