Séance de cours
Cette séance de cours couvre le théorème de décomposition de Doob pour les sous-martingales, qui affirme qu'un sous-martingale peut être décomposé en deux processus : un martingale et un processus prévisible non décroissant. La preuve consiste à définir un processus de candidat naturel A et à en démontrer la prévisibilité par l'induction. De plus, la séance de cours parle du mouvement brownien comme d'un processus continu avec des propriétés spécifiques, comme commencer à 0 et avoir certaines distributions. Il explore également le lien entre le mouvement brownien et les promenades aléatoires classiques, en mettant l'accent sur la variation quadratique des fonctions et de leurs variations. La séance de cours se termine par des réflexions sur les martingales continues et le théorème de Levy, soulignant la relation entre les martingales et le mouvement brownien.