Objet libreEn mathématiques, la notion d'objet libre est l'un des concepts de base de l'algèbre générale. Elle appartient à l'algèbre universelle, car elle s'applique à tous les types de structures algébriques (avec des opérations finitaires). Elle se formule plus généralement dans le langage de la théorie des catégories : le foncteur « objet libre » est l'adjoint à gauche du foncteur d'oubli. Des exemples d'objets libres sont les groupes libres, les groupes abéliens libres, les algèbres tensorielles...
Foncteur plein et fidèleEn théorie des catégories, un foncteur plein (respectivement fidèle) est un foncteur dont la restriction à chacun des ensembles de morphismes est surjectif (respectivement injectif). Soient C et D deux catégories et F : C → D un foncteur de C dans D. Pour X et Y des objets de C, le foncteur F induit une fonction Le foncteur F est dit : fidèle si pour tout X, Y dans C, FX, Y est injective ; plein si pour tout X, Y dans C, FX, Y est surjective ; pleinement fidèle si pour tout X, Y dans C, FX, Y est bijective.
Théorie de l'homotopie stableEn mathématiques, la théorie de l'homotopie stable est une partie de la théorie de l'homotopie concernée par les structures et tous les phénomènes qui subsistent après suffisamment d'applications du foncteur de suspension. Un résultat fondateur a été le théorème de suspension de Freudenthal, qui stipule que, étant donné tout espace pointé , les groupes d'homotopie se stabilisent pour suffisamment grand. En particulier, les groupes d'homotopie des sphères se stabilisent pour .
Decomposition of a moduleIn abstract algebra, a decomposition of a module is a way to write a module as a direct sum of modules. A type of a decomposition is often used to define or characterize modules: for example, a semisimple module is a module that has a decomposition into simple modules. Given a ring, the types of decomposition of modules over the ring can also be used to define or characterize the ring: a ring is semisimple if and only if every module over it is a semisimple module.
Monade (théorie des catégories)Une monade est une construction catégorique qui mime formellement le comportement que les monoïdes ont en algèbre. Introduite par Roger Godement sous le nom de « construction standard », la notion est d'abord diffusée sous le nom de triple avant d'être baptisée monade par Jean Bénabou. Elles permettent notamment de formuler des adjonctions et ont (au travers des comonades) un rôle important en géométrie algébrique, notamment en théorie des topos. Elles permettent également de définir les , dont les .
Groupe d'homotopieEn mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures. Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles. Première définition Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension . Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Module semi-simplethumb|Camille Jordan, auteur du théorème clé de la théorie En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire. Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.
Catégorie des ensemblesEn mathématiques, plus précisément en théorie des catégories, la catégorie des ensembles, notée Set ou Ens, est la catégorie dont les objets sont les ensembles, et dont les morphismes sont les applications d'un ensemble dans un autre. Sa définition est motivée par le fait qu'en théorie des ensembles usuelle, il n'existe pas d'« ensemble de tous les ensembles », car l'existence d'un tel objet résulterait en une contradiction logique : le paradoxe de Russell.
Module monogèneEn algèbre, un module monogène est un module qui peut être engendré par un seul élément. Par exemple, un Z-module monogène est un groupe (abélien) monogène. Le concept est analogue à celui de groupe monogène, c'est-à-dire un groupe qui est engendré par un élément. Un R-module gauche M est dit monogène si M peut être engendré par un seul élément, c'est-à-dire s'il existe x dans M tel que M = (x) = Rx = {rx | r ∈ R}. De même, un R-module à droite N est monogène s'il existe y ∈ N tel que N = yR.
Foncteur représentableOn rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple. Soit une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable s'il existe un objet X de tel que F soit isomorphe au foncteur , respectivement au foncteur . Les transformations naturelles de dans F correspondent bijectivement aux éléments de .
