Catégorie enrichieUne catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale , ou -catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de . Le concept de catégorie enrichie part de l'observation que dans de nombreuses situations, les morphismes ont une structure naturelle d'espace vectoriel ou topologique. La catégorie doit être monoïdale afin de pouvoir définir la composition des morphismes, appelés dans ce cas hom-objets au lieu de hom-sets.
Homologie de HochschildL’homologie de Hochschild et la cohomologie de Hochschild sont des théories homologiques et cohomologiques définies à l'origine pour les algèbres associatives, mais qui ont été généralisées à des catégories plus générales. Elles ont été introduites par Gerhard Hochschild en 1945. La cohomologie cyclique développée par Alain Connes et Jean-Louis Loday en est une généralisation. La cohomologie de Hochschild classifie les de la structure multiplicative de l'algèbre considérée, et d'une manière générale l'homologie comme la cohomologie de Hochschild possèdent une riche structure algébrique.
Verdier dualityIn mathematics, Verdier duality is a cohomological duality in algebraic topology that generalizes Poincaré duality for manifolds. Verdier duality was introduced in 1965 by as an analog for locally compact topological spaces of Alexander Grothendieck's theory of Poincaré duality in étale cohomology for schemes in algebraic geometry. It is thus (together with the said étale theory and for example Grothendieck's coherent duality) one instance of Grothendieck's six operations formalism.
Forgetful functorIn mathematics, in the area of , a forgetful functor (also known as a stripping functor) 'forgets' or drops some or all of the input's structure or properties 'before' mapping to the output. For an algebraic structure of a given signature, this may be expressed by curtailing the signature: the new signature is an edited form of the old one. If the signature is left as an empty list, the functor is simply to take the underlying set of a structure.
Topos (mathématiques)En mathématiques, un topos (au pluriel topos ou topoï) est un type particulier de catégorie. La théorie des topoï est polyvalente et est utilisée dans des domaines aussi variés que la logique, la topologie ou la géométrie algébrique. Un topos peut être défini comme une catégorie pourvue : de limites et colimites finies ; d'exponentielles ; d'un . D'autres définitions équivalentes sont données plus bas.
Functor represented by a schemeIn algebraic geometry, a functor represented by a scheme X is a set-valued contravariant functor on the category of schemes such that the value of the functor at each scheme S is (up to natural bijections) the set of all morphisms . The scheme X is then said to represent the functor and that classify geometric objects over S given by F. The best known example is the Hilbert scheme of a scheme X (over some fixed base scheme), which, when it exists, represents a functor sending a scheme S to a flat family of closed subschemes of .
Compact closed categoryIn , a branch of mathematics, compact closed categories are a general context for treating dual objects. The idea of a dual object generalizes the more familiar concept of the dual of a finite-dimensional vector space. So, the motivating example of a compact closed category is FdVect, the having finite-dimensional vector spaces as s and linear maps as s, with tensor product as the structure. Another example is , the category having sets as objects and relations as morphisms, with .
Théorème de suspension de FreudenthalLe théorème de suspension de Freudenthal est un théorème de mathématiques démontré en 1937 par Hans Freudenthal. C'est un résultat fondamental sur l'homotopie, qui explique le comportement des groupes d'homotopie d'un espace pointé lorsqu'on en prend la suspension et qui conduit à la théorie de l'homotopie stable. Soit X un CW-complexe pointé n-connexe. L'application X → Ω(X ∧ S), où Ω désigne le foncteur espace des lacets et ∧ le smash-produit, induit un morphisme de groupesπ(X) → π(Ω(X ∧ S)) ≃ π(X ∧ S).
CofibrationEn mathématiques, une cofibration est une application qui satisfait la propriété d'extension des homotopies, ce qui est le cas pour les inclusions de CW-complexes. Le quotient de l'espace but par l'espace source est alors appelé cofibre de l'application. L'inclusion dans le cylindre d'application permet de remplacer une application continue entre deux espaces topologiques par une cofibration homotopiquement équivalente. La cofibre est alors appelée cofibre homotopique de l'application initiale.
Fibré en droitesEn mathématiques, un fibré en droites est une construction qui décrit une droite attachée en chaque point d'un espace. Par exemple, une courbe dans le plan possède une tangente en chaque point, et si la courbe est suffisamment lisse alors la tangente évolue de manière « continue » lorsqu'on se déplace sur la courbe. De manière plus formelle on peut définir un fibré en droites comme un fibré vectoriel de rang 1.
