Groupe localement compactUn groupe localement compact est, en mathématiques, un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est localement compact. Ces propriétés permettent de définir une mesure, dite mesure de Haar, et donc de calculer des intégrales et des moyennes ou encore une transformée de Fourier. Ces propriétés à la croisée de l'algèbre générale, de la topologie et de la théorie de la mesure sont particulièrement intéressantes, notamment pour leurs applications en physique.
Sous-groupeUn sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
Sous-groupe normalEn théorie des groupes, un sous-groupe normal (également appelé sous-groupe distingué ou sous-groupe invariantLien web|langue=fr|titre=Introduction à la théorie des groupes et de leurs représentations|auteur=Jean-Bernard Zuber|url=) H d'un groupe G est un sous-groupe globalement stable par l'action de G sur lui-même par conjugaison. Les sous-groupes normaux interviennent naturellement dans la définition du quotient d'un groupe. Les sous-groupes normaux de G sont exactement les noyaux des morphismes définis sur G.
Groupe topologiqueEn mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues. L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique. Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul : Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.
Locally profinite groupIn mathematics, a locally profinite group is a Hausdorff topological group in which every neighborhood of the identity element contains a compact open subgroup. Equivalently, a locally profinite group is a topological group that is Hausdorff, locally compact, and totally disconnected. Moreover, a locally profinite group is compact if and only if it is profinite; this explains the terminology. Basic examples of locally profinite groups are discrete groups and the p-adic Lie groups.
Closed-subgroup theoremIn mathematics, the closed-subgroup theorem (sometimes referred to as Cartan's theorem) is a theorem in the theory of Lie groups. It states that if H is a closed subgroup of a Lie group G, then H is an embedded Lie group with the smooth structure (and hence the group topology) agreeing with the embedding. One of several results known as Cartan's theorem, it was first published in 1930 by Élie Cartan, who was inspired by John von Neumann's 1929 proof of a special case for groups of linear transformations.
Groupe dérivéEn mathématiques, en algèbre dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G, G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G. Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.
Espace localement compactEn topologie, un espace localement compact est un espace séparé qui admet des voisinages compacts pour tous ses points. Un tel espace n'est pas nécessairement compact lui-même mais on peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut « rendre » compacts avec un point grâce à la compactification d'Alexandrov. La compacité est une source très fertile de résultats en topologie mais elle reste une propriété très contraignante.
Groupe compactEn mathématiques, et plus particulièrement en analyse harmonique abstraite, un groupe compact est un groupe topologique dont l'espace topologique sous-jacent est compact. Les groupes compacts sont des groupes unimodulaires, dont la compacité simplifie l'étude. Ces groupes comprennent notamment les groupes finis et les groupes de Lie compacts. Tout groupe compact est limite projective de groupes de Lie compacts. Tout groupe discret fini est un groupe compact. En effet, tout espace discret fini est compact.
Locally compact abelian groupIn several mathematical areas, including harmonic analysis, topology, and number theory, locally compact abelian groups are abelian groups which have a particularly convenient topology on them. For example, the group of integers (equipped with the discrete topology), or the real numbers or the circle (both with their usual topology) are locally compact abelian groups. A topological group is called locally compact if the underlying topological space is locally compact and Hausdorff; the topological group is called abelian if the underlying group is abelian.
