Sous-groupe

Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G. Soit H, un sous-groupe de G différent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G. Remarque : les groupes n'ayant pas de sous-groupes propres sont les groupes cycliques d'ordre premier ou égal à 1. La terminologie est en fait flottante. Les auteurs anglophones et certains auteurs francophones appellent sous-groupes propres d'un groupe G les sous-groupes de G distincts de G. Les auteurs qui adoptent cette définition d'un sous-groupe propre désignent par « sous-groupe trivial » (quand ils emploient cette expression) le sous-groupe réduit à l'élément neutre. L'élément neutre de H est idempotent donc égal à e (le neutre de G), et le symétrique (dans H) d'un élément h de H est aussi (l'unique) symétrique de h dans G. Pour cette raison, leur notation est la même dans H que dans G. D'après la définition donnée plus haut, une partie H de G est un sous-groupe de G si et seulement si : H contient e et H est stable par produits et inverses, i. e. :ou encore : Dans cette caractérisation, on peut (compte tenu de la condition 2.) remplacer la condition 1. par : H est non vide. Un sous-ensemble fini de G est un sous-groupe de G si (et seulement si) il est non vide et stable pour les produits. Groupe cyclique Soit G un groupe cyclique fini d'ordre pq, où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors G a un unique sous-groupe d'ordre p. Ce sous-groupe est cyclique, engendré par gq où g est n'importe quel générateur de G. Les sous-groupes du groupe additif Z des entiers relatifs sont les parties de la forme nZ, pour n'importe quel entier n.