Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes.
Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e.
Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗.
Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
Soit H, un sous-groupe de G différent des sous-groupes triviaux, alors H est un sous-groupe propre de G.
Remarque : les groupes n'ayant pas de sous-groupes propres sont les groupes cycliques d'ordre premier ou égal à 1.
La terminologie est en fait flottante. Les auteurs anglophones et certains auteurs francophones appellent sous-groupes propres d'un groupe G les sous-groupes de G distincts de G. Les auteurs qui adoptent cette définition d'un sous-groupe propre désignent par « sous-groupe trivial » (quand ils emploient cette expression) le sous-groupe réduit à l'élément neutre.
L'élément neutre de H est idempotent donc égal à e (le neutre de G), et le symétrique (dans H) d'un élément h de H est aussi (l'unique) symétrique de h dans G. Pour cette raison, leur notation est la même dans H que dans G.
D'après la définition donnée plus haut, une partie H de G est un sous-groupe de G si et seulement si :
H contient e et
H est stable par produits et inverses, i. e. :ou encore :
Dans cette caractérisation, on peut (compte tenu de la condition 2.) remplacer la condition 1. par : H est non vide.
Un sous-ensemble fini de G est un sous-groupe de G si (et seulement si) il est non vide et stable pour les produits.
Groupe cyclique
Soit G un groupe cyclique fini d'ordre pq, où p et q sont deux entiers strictement positifs. Alors G a un unique sous-groupe d'ordre p. Ce sous-groupe est cyclique, engendré par gq où g est n'importe quel générateur de G.
Les sous-groupes du groupe additif Z des entiers relatifs sont les parties de la forme nZ, pour n'importe quel entier n.
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En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, un groupe cyclique est un groupe qui est à la fois fini et monogène, c'est-à-dire qu'il existe un élément a du groupe tel que tout élément du groupe puisse s'exprimer sous forme d'un multiple de a (en notation additive, ou comme puissance en notation multiplicative) ; cet élément a est appelé générateur du groupe. Il n'existe, à isomorphisme près, pour tout entier n > 0, qu'un seul groupe cyclique d'ordre n : le groupe quotient Z/nZ — également noté Z ou C — de Z par le sous-groupe des multiples de n.
vignette|Le Rubik's cube illustre la notion de groupes de permutations. Voir groupe du Rubik's Cube. La théorie des groupes est en mathématique, plus précisément en algèbre générale, la discipline qui étudie les structures algébriques appelées groupes. Le développement de la théorie des groupes est issu de la théorie des nombres, de la théorie des équations algébriques et de la géométrie. La théorie des groupes est étroitement liée à la théorie des représentations.
Un sous-groupe est un objet mathématique décrit par la théorie des groupes. Dans cet article, (G, ∗) désigne un groupe d'élément neutre e. Dans la pratique, on note la loi interne du sous-groupe avec le même symbole que celui de la loi interne du groupe, c'est-à-dire ∗. Si G est un groupe alors {e} (le groupe réduit à l'élément neutre) et G sont toujours des sous-groupes de G. Ce sont les sous-groupes triviaux de G. On les appelle également les sous-groupes impropres de G.
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