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Concept
Groupe dérivé
Résumé
En mathématiques, en algèbre dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G, G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G.
Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.
Le commutateur de deux éléments et est par définition l'élément défini par :
Le commutateur mesure le défaut de commutation des éléments g et h :
En particulier, dans un groupe abélien, tous les commutateurs sont égaux à l'élément neutre .
L'inverse du commutateur de g et de h est le commutateur de h et de g :
L'ensemble des commutateurs est stable par tout endomorphisme de G : pour tous g et h dans G,
Pour tous g, h, et k dans G, on a :
L'ensemble des commutateurs est stable par l'inverse mais pas nécessairement par composition. Il n'est pas, en général, un sous-groupe de G. Le sous-groupe engendré par les commutateurs est appelé le groupe dérivé de G, noté D(G) ou [G, G].
En particulier, tout élément de D(G) est un produit fini de commutateurs. Comme l'image d'un commutateur par un endomorphisme de groupe est un commutateur, le groupe dérivé est stable par tout endomorphisme de G : c'est un sous-groupe pleinement caractéristique de G. En particulier, c'est un sous-groupe caractéristique, et donc normal, de G.
Exemples :
Le groupe dérivé du groupe symétrique S est le groupe alterné A.
Le groupe dérivé du groupe général linéaire GL(n, K) est le groupe spécial linéaire SL(n, K), sauf si n = 2 et K = F.
Tous les groupes SL(n, K) sont parfaits (c'est-à-dire que chacun est égal à son sous-groupe dérivé), sauf SL(2,F) et SL(2,F).
Propriétés
Le groupe dérivé d'une somme directe de groupes G est la somme directe des groupes dérivés D(G).
Le groupe dérivé d'un produit direct de groupes G est, dans le produit direct des groupes dérivés D(G), le sous-groupe constitué des éléments g pour lesquels il existe un entier n tel que, pour tout i, la composante g de g soit un produit de n commutateurs.
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