Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Groupe dérivé
Résumé
En mathématiques, en algèbre dans un groupe G, le groupe dérivé, noté D(G) ou [G, G], est le plus petit sous-groupe normal pour lequel le groupe quotient G/[G, G] est abélien. Le groupe dérivé de G est trivial si et seulement si le groupe G est abélien. Le groupe quotient de G par son groupe dérivé est l'abélianisé de G.
Le procédé d'abélianisation permet souvent de prouver que deux groupes ne sont pas isomorphes. Il intervient aussi en géométrie.
Le commutateur de deux éléments et est par définition l'élément défini par :
Le commutateur mesure le défaut de commutation des éléments g et h :
En particulier, dans un groupe abélien, tous les commutateurs sont égaux à l'élément neutre .
L'inverse du commutateur de g et de h est le commutateur de h et de g :
L'ensemble des commutateurs est stable par tout endomorphisme de G : pour tous g et h dans G,
Pour tous g, h, et k dans G, on a :
L'ensemble des commutateurs est stable par l'inverse mais pas nécessairement par composition. Il n'est pas, en général, un sous-groupe de G. Le sous-groupe engendré par les commutateurs est appelé le groupe dérivé de G, noté D(G) ou [G, G].
En particulier, tout élément de D(G) est un produit fini de commutateurs. Comme l'image d'un commutateur par un endomorphisme de groupe est un commutateur, le groupe dérivé est stable par tout endomorphisme de G : c'est un sous-groupe pleinement caractéristique de G. En particulier, c'est un sous-groupe caractéristique, et donc normal, de G.
Exemples :
Le groupe dérivé du groupe symétrique S est le groupe alterné A.
Le groupe dérivé du groupe général linéaire GL(n, K) est le groupe spécial linéaire SL(n, K), sauf si n = 2 et K = F.
Tous les groupes SL(n, K) sont parfaits (c'est-à-dire que chacun est égal à son sous-groupe dérivé), sauf SL(2,F) et SL(2,F).
Propriétés
Le groupe dérivé d'une somme directe de groupes G est la somme directe des groupes dérivés D(G).
Le groupe dérivé d'un produit direct de groupes G est, dans le produit direct des groupes dérivés D(G), le sous-groupe constitué des éléments g pour lesquels il existe un entier n tel que, pour tout i, la composante g de g soit un produit de n commutateurs.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Proximité ontologique
Cours associés (12)
MATH-310: Algebra
This is an introduction to modern algebra: groups, rings and fields.
COM-401: Cryptography and security
This course introduces the basics of cryptography. We review several types of cryptographic primitives, when it is safe to use them and how to select the appropriate security parameters. We detail how
CS-308: Introduction to quantum computation
The course introduces the paradigm of quantum computation in an axiomatic way. We introduce the notion of quantum bit, gates, circuits and we treat the most important quantum algorithms. We also touch
Concepts associés (19)
Groupe symétrique
En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même. N'est traité dans le présent article, à la suite de la définition générale, que le cas E fini. Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications (la loi ∘). On le note S(E) ou (ce caractère est un S gothique). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini {1, 2, .
Sous-groupe caractéristique
Dans un groupe G, un sous-groupe H est dit caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G : strictement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme surjectif de G ; pleinement caractéristique, ou encore pleinement invariant, lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G : Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un
Groupe résoluble
En mathématiques, un groupe résoluble est un groupe qui peut être construit à partir de groupes abéliens par une suite finie d'extensions. Théorème d'Abel (algèbre) La théorie des groupes tire son origine de la recherche de solutions générales (ou de leur absence) pour les racines des polynômes de degré 5 ou plus. Le concept de groupe résoluble provient d'une propriété partagée par les groupes d'automorphismes des polynômes dont les racines peuvent être exprimées en utilisant seulement un nombre fini d'opérations élémentaires (racine n-ième, addition, multiplication, ).