Tribu boréliennevignette|Normal distribution pdf. En mathématiques, la tribu borélienne (également appelée tribu de Borel ou tribu des boréliens) sur un espace topologique est la plus petite tribu sur contenant tous les ensembles ouverts. Les éléments de la tribu borélienne sont appelés des boréliens. Le concept doit son nom à Émile Borel, qui a publié en 1898 une première exposition de la tribu borélienne de la droite réelle. La tribu borélienne peut, de manière équivalente, se définir comme la plus petite tribu qui contient tous les sous-ensembles fermés de .
Mesure de BorelIn mathematics, specifically in measure theory, a Borel measure on a topological space is a measure that is defined on all open sets (and thus on all Borel sets). Some authors require additional restrictions on the measure, as described below. Let be a locally compact Hausdorff space, and let be the smallest σ-algebra that contains the open sets of ; this is known as the σ-algebra of Borel sets. A Borel measure is any measure defined on the σ-algebra of Borel sets.
Émile BorelÉmile Borel, né à Saint-Affrique le et mort à Paris le , est un mathématicien français, professeur à la Faculté des sciences de Paris. Il était spécialiste de la théorie des fonctions et des probabilités, membre de l'Académie des sciences, ainsi qu'un homme politique français, député et ministre. Ses actions pour la Société des Nations et au sein de son Comité fédéral de Coopération européenne font de lui un des précurseurs de l'idée européenne. Félix Édouard Justin Émile Borel est le fils d'un pasteur protestant.
Mesure de LebesgueLa mesure de Lebesgue est une mesure qui étend le concept intuitif de volume à une très large classe de parties de l'espace. Comme l'a immédiatement perçu son inventeur, Henri Lebesgue, elle permet de bâtir une théorie de l'intégration très performante et fondamentale en analyse moderne : la théorie de l'intégrale de Lebesgue. Plusieurs constructions bien différentes de la mesure de Lebesgue sont connues. Chacune d'entre elles peut naturellement être prise pour définition ; dans le cadre d'un article où il faut toutes les évoquer, il est prudent de fournir en ouverture une définition plus unificatrice.
Ensemble négligeablevignette|Le triangle de Sierpiński est un exemple d'ensemble nul de points dans R 2 \mathbb {R} ^{2}. En théorie de la mesure, dans un espace mesuré, un ensemble négligeable est un ensemble de mesure nulle ou une partie d'un tel ensemble. La définition peut dépendre de la mesure choisie : deux mesures sur un même espace mesurable qui ont les mêmes ensembles de mesure nulle sont dites équivalentes. À un niveau élémentaire, il est possible d'aborder la notion d'ensemble négligeable pour un certain nombre d'espaces (dont la droite réelle) sans avoir à introduire une mesure.
Théorie géométrique de la mesureEn mathématiques, la théorie géométrique de la mesure (ou théorie de la mesure géométrique) est l'étude des propriétés géométriques de la mesure d'ensembles (typiquement dans un espace euclidien). Elle a été fondée par Herbert Federer. L'idée est de résoudre certains problèmes géométrique en les formulant dans le cadre de l'analyse fonctionnelle, facilitant leur résolution. La théorie de la mesure géométrique est connue pour intervenir efficacement dans la résolution du problème de Plateau qui consiste à trouver une surface d'aire minimale avec des contraintes sur les bords de celle-ci.
Théorie des probabilitésLa théorie des probabilités en mathématiques est l'étude des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. Elle forme avec la statistique les deux sciences du hasard qui sont partie intégrante des mathématiques. Les débuts de l'étude des probabilités correspondent aux premières observations du hasard dans les jeux ou dans les phénomènes climatiques par exemple. Bien que le calcul de probabilités sur des questions liées au hasard existe depuis longtemps, la formalisation mathématique n'est que récente.
Connexité (mathématiques)La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié. Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes : E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ; E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ; les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ; toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
DéfinitionUne définition est une proposition qui met en équivalence un élément définissant et un élément étant défini. Une définition a pour but de clarifier, d'expliquer. Elle détermine les limites ou « un ensemble de traits qui circonscrivent un objet ». Selon les Définitions du pseudo-Platon, la définition est la . Aristote, dans le Topiques, définit le mot comme En mathématiques, on définit une notion à partir de notions antérieurement définies. Les notions de bases étant les symboles non logiques du langage considéré, dont l'usage est défini par les axiomes de la théorie.
ConnectivitéLa connectivité désigne ce qu'une entité offre comme à d'autres entités de son environnement. Elle se rapporte plus généralement à la théorie des graphes. En écologie, la connectivité écologique désigne le degré de non-fragmentation écologique des milieux et paysages. La connectivité est parfois utilisée pour désigner les connecteurs offerts par un dispositif physique, par exemple, pour un appareil électrique. En géométrie, la connectivité peut aussi désigner le voisinage d'une entité dans un pavage.
