La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié.
Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ;
toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
Dans le cas où l'une de ces conditions équivalentes est remplie, on dit que l'espace E est connexe.
La dernière de ces quatre caractérisations est souvent la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.
Une partie X d'un espace topologique E est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la topologie induite.
Les parties connexes de R sont les intervalles.
La notion de connexité est clairement invariante par homéomorphismes.
Tout ensemble muni de sa topologie grossière est connexe. Il en résulte que l'ensemble vide est connexe, ainsi que tout espace réduit à un point.
Si X et Y sont deux parties connexes d'un espace topologique, en général l'union et l'intersection de X et Y ne sont pas connexes.
En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe dès qu'elles ont un point commun (il suffit même que l'une des deux rencontre l'adhérence de l'autre). Plus généralement :
Pour toute famille (finie ou pas) de parties connexes dont l'intersection est non vide, la réunion est connexe.
Exemples d'application :
toute partie connexe par arcs est connexe (comme réunion des chemins dans cette partie ayant tous une même origine fixée) ;
si est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante alors la réunion est connexe (comme réunion des qui, par récurrence, sont connexes).
Si A est une partie connexe de E alors son adhérence est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ est connexe.
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La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage. Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à n dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique.
En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, la notion de variété peut être appréhendée intuitivement comme la généralisation de la classification qui établit qu'une courbe est une variété de dimension 1 et une surface est une variété de dimension 2. Une variété de dimension n, où n désigne un entier naturel, est un espace topologique localement euclidien, c'est-à-dire dans lequel tout point appartient à une région qui s'apparente à un tel espace.
En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie discrète sur un ensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont « isolés » les uns des autres. Soit X un ensemble. L'ensemble des parties de X définit une topologie sur X appelée topologie discrète. X muni de cette topologie est alors appelé espace discret. On dit qu'une partie A d'un espace topologique X est un ensemble discret lorsque la topologie induite sur A est la topologie discrète.
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