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Concept
Connexité (mathématiques)
Résumé
La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié.
Soit un espace topologique E. Les quatre propositions suivantes sont équivalentes :
E n'est pas la réunion de deux ouverts non vides disjoints ;
E n'est pas la réunion de deux fermés non vides disjoints ;
les seuls ouverts-fermés de E sont ∅ et E ;
toute application continue de E dans un ensemble à deux éléments muni de la topologie discrète est constante.
Dans le cas où l'une de ces conditions équivalentes est remplie, on dit que l'espace E est connexe.
La dernière de ces quatre caractérisations est souvent la plus commode à utiliser pour démontrer un résultat de connexité.
Une partie X d'un espace topologique E est dite connexe si elle est un espace connexe lorsqu'elle est munie de la topologie induite.
Les parties connexes de R sont les intervalles.
La notion de connexité est clairement invariante par homéomorphismes.
Tout ensemble muni de sa topologie grossière est connexe. Il en résulte que l'ensemble vide est connexe, ainsi que tout espace réduit à un point.
Si X et Y sont deux parties connexes d'un espace topologique, en général l'union et l'intersection de X et Y ne sont pas connexes.
En revanche, l'union des deux parties connexes est connexe dès qu'elles ont un point commun (il suffit même que l'une des deux rencontre l'adhérence de l'autre). Plus généralement :
Pour toute famille (finie ou pas) de parties connexes dont l'intersection est non vide, la réunion est connexe.
Exemples d'application :
toute partie connexe par arcs est connexe (comme réunion des chemins dans cette partie ayant tous une même origine fixée) ;
si est une suite de parties connexes telle que chacune a un point commun avec la suivante alors la réunion est connexe (comme réunion des qui, par récurrence, sont connexes).
Si A est une partie connexe de E alors son adhérence est connexe car plus généralement, toute partie B de E telle que A ⊂ B ⊂ est connexe.
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