Highly structured ring spectrumIn mathematics, a highly structured ring spectrum or -ring is an object in homotopy theory encoding a refinement of a multiplicative structure on a cohomology theory. A commutative version of an -ring is called an -ring. While originally motivated by questions of geometric topology and bundle theory, they are today most often used in stable homotopy theory. Highly structured ring spectra have better formal properties than multiplicative cohomology theories – a point utilized, for example, in the construction of topological modular forms, and which has allowed also new constructions of more classical objects such as Morava K-theory.
Spectre (topologie)En topologie algébrique, une branche des mathématiques, un spectre est un objet représentant une théorie cohomologique généralisée (qui découle du ). Cela signifie que, étant donné une théorie de cohomologie,il existe des espaces tels que l'évaluation de la théorie cohomologique en degré sur un espace équivaut à calculer les classes d'homotopie des morphismes à l'espace , soit encore.Remarquons qu'il existe plusieurs catégories de spectres différentes conduisant à de nombreuses difficultés techniques, mais ils déterminent tous la même , connue sous le nom de catégorie d'homotopie stable.
Espace de ThomEn topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontrjagin et le de Thom. Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954. Soit un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique . Notons l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées : et .
CobordismeEn topologie différentielle, le cobordisme est une relation d'équivalence entre variétés différentielles compactes. Deux variétés compactes M et N sont dites cobordantes ou en cobordisme si leur réunion disjointe peut être réalisée comme le bord d'une variété à bord compacte L. On dit alors que cette variété L est un cobordisme entre M et N, ou bien que L réalise un cobordisme entre M et N. L'existence d'un tel cobordisme implique que M et N soient de même dimension.
Anneau commutatifUn anneau commutatif est un anneau dans lequel la loi de multiplication est commutative. L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative. Un anneau commutatif est un anneau (unitaire) dans lequel la loi de multiplication est commutative. Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont des anneaux particuliers, nombre de concepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux de morphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, de sous-anneaux, d'éléments nilpotents.
Algèbre commutativevignette|Propriété universelle du produit tensoriel de deux anneaux commutatifs En algèbre générale, l’algèbre commutative est la branche des mathématiques qui étudie les anneaux commutatifs, leurs idéaux, les modules et les algèbres. Elle est fondamentale pour la géométrie algébrique et pour la théorie algébrique des nombres. David Hilbert est considéré comme le véritable fondateur de cette discipline appelée initialement la « théorie des idéaux ».
Noncommutative ringIn mathematics, a noncommutative ring is a ring whose multiplication is not commutative; that is, there exist a and b in the ring such that ab and ba are different. Equivalently, a noncommutative ring is a ring that is not a commutative ring. Noncommutative algebra is the part of ring theory devoted to study of properties of the noncommutative rings, including the properties that apply also to commutative rings. Sometimes the term noncommutative ring is used instead of ring to refer to an unspecified ring which is not necessarily commutative, and hence may be commutative.
Chirurgie (topologie)En mathématiques, et particulièrement en topologie géométrique, la chirurgie est une technique, introduite en 1961 par John Milnor, permettant de construire une variété à partir d'une autre de manière « contrôlée ». On parle de chirurgie parce que cela consiste à « couper » une partie de la première variété et à la remplacer par une partie d'une autre variété, en identifiant les frontières ; ces transformations sont étroitement liées à la notion de décomposition en anses.
Adams spectral sequenceIn mathematics, the Adams spectral sequence is a spectral sequence introduced by which computes the stable homotopy groups of topological spaces. Like all spectral sequences, it is a computational tool; it relates homology theory to what is now called stable homotopy theory. It is a reformulation using homological algebra, and an extension, of a technique called 'killing homotopy groups' applied by the French school of Henri Cartan and Jean-Pierre Serre. For everything below, once and for all, we fix a prime p.
Steenrod algebraIn algebraic topology, a Steenrod algebra was defined by to be the algebra of stable cohomology operations for mod cohomology. For a given prime number , the Steenrod algebra is the graded Hopf algebra over the field of order , consisting of all stable cohomology operations for mod cohomology. It is generated by the Steenrod squares introduced by for , and by the Steenrod reduced th powers introduced in and the Bockstein homomorphism for . The term "Steenrod algebra" is also sometimes used for the algebra of cohomology operations of a generalized cohomology theory.
