En topologie différentielle, le cobordisme est une relation d'équivalence entre variétés différentielles compactes. Deux variétés compactes M et N sont dites cobordantes ou en cobordisme si leur réunion disjointe peut être réalisée comme le bord d'une variété à bord compacte L. On dit alors que cette variété L est un cobordisme entre M et N, ou bien que L réalise un cobordisme entre M et N. L'existence d'un tel cobordisme implique que M et N soient de même dimension.
À proprement parler, le cobordisme n'est pas une relation d'équivalence car la classe des variétés différentielles d'une dimension donnée n n'est pas un ensemble. Toutefois, le fait que deux variétés M et N soient cobordantes dépend uniquement de la classe de difféomorphismes de ces variétés. Le cobordisme définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des variétés différentielles de dimension n identifiées à difféomorphisme près.
Par convention, une variété est supposée dénombrable à l'infini. Chaque compact peut être recouvert par un nombre fini de domaines de cartes locales, et chaque domaine s'identifie à un ouvert de Rn. Une variété différentielle a donc la puissance du continu. La classe des variétés différentielles de dimension n identifiées à difféomorphisme près s'obtient comme un quotient de l'ensemble des structures de variétés différentielles de dimension n sur l'ensemble R.
Il existe une relation plus fine que le cobordisme pour les variétés différentielles orientées. Une orientation sur une variété à bord induit une orientation sur le bord. Pour une variété différentielle orientable connexe M, il existe exactement deux orientations distinctes. Si une de ces orientations est spécifiée, M est dite par abus de langage orientée. On note alors la variété M munie de la seconde orientation. Deux variétés compactes orientées M et N sont dites cobordantes lorsqu'il existe une variété à bord compacte et orientée W dont le bord est la réunion disjointe de et de N. On dit que W est un cobordisme orienté entre M et N.
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En mathématiques, les classes de Pontriaguine sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels réels, nommées d'après Lev Pontriaguine. Les classes de Pontriaguine appartiennent aux groupes de cohomologie de degré un multiple de quatre. Soit E un fibré vectoriel réel au-dessus de M. La k-ième classe de Pontriaguine pk(E) est définie par : pk(E) = pk(E, Z) = (−1)k c2k(E ⊗ C) ∈ H4k(M, Z), où c2k(E ⊗ C) est la 2k-ième classe de Chern du complexifié E ⊗ C = E ⊕ iE de E ; H4k(M, Z) est le 4k-ième groupe de cohomologie de M à coefficients entiers.
En mathématiques, et particulièrement en topologie géométrique, la chirurgie est une technique, introduite en 1961 par John Milnor, permettant de construire une variété à partir d'une autre de manière « contrôlée ». On parle de chirurgie parce que cela consiste à « couper » une partie de la première variété et à la remplacer par une partie d'une autre variété, en identifiant les frontières ; ces transformations sont étroitement liées à la notion de décomposition en anses.
En topologie, l'espace de Thom est un espace topologique associé à un fibré vectoriel. Il est au cœur de plusieurs constructions homotopiques, parmi lesquelles la construction de Thom-Pontrjagin et le de Thom. Il porte le nom de René Thom, qui a introduit ces constructions en 1954. Soit un fibré vectoriel de rang k sur un espace topologique . Notons l'espace total de ce fibré. Si l'on munit les fibres de d'un produit scalaire, on peut définir les fibrations en boules et en sphères associées : et .
Explore l'extrémité globale des fonctions dans R^2, en discutant des méthodes pour trouver des points maximum et minimum.
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Explore la dynamique des débits réguliers d'Euler sur les collecteurs Riemanniens, couvrant les fluides idéaux, les équations d'Euler, les débits eulérisables et les obstacles à l'exposition des bouchons.
We determine the bounded cohomology of the group of homeomorphisms of certain low-dimensional manifolds. In particular, for the group of orientation-preserving homeomorphisms of the circle and of the closed 2-disc, it is isomorphic to the polynomial ring g ...
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Twisted topological Hochschild homology of Cn-equivariant spectra was introduced by Angeltveit, Blumberg, Gerhardt, Hill, Lawson, and Mandell, building on the work of Hill, Hopkins, and Ravenel on norms in equivariant homotopy theory. In this paper we intr ...
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