Cobordisme

En topologie différentielle, le cobordisme est une relation d'équivalence entre variétés différentielles compactes. Deux variétés compactes M et N sont dites cobordantes ou en cobordisme si leur réunion disjointe peut être réalisée comme le bord d'une variété à bord compacte L. On dit alors que cette variété L est un cobordisme entre M et N, ou bien que L réalise un cobordisme entre M et N. L'existence d'un tel cobordisme implique que M et N soient de même dimension. À proprement parler, le cobordisme n'est pas une relation d'équivalence car la classe des variétés différentielles d'une dimension donnée n n'est pas un ensemble. Toutefois, le fait que deux variétés M et N soient cobordantes dépend uniquement de la classe de difféomorphismes de ces variétés. Le cobordisme définit une relation d'équivalence sur l'ensemble des variétés différentielles de dimension n identifiées à difféomorphisme près. Par convention, une variété est supposée dénombrable à l'infini. Chaque compact peut être recouvert par un nombre fini de domaines de cartes locales, et chaque domaine s'identifie à un ouvert de Rn. Une variété différentielle a donc la puissance du continu. La classe des variétés différentielles de dimension n identifiées à difféomorphisme près s'obtient comme un quotient de l'ensemble des structures de variétés différentielles de dimension n sur l'ensemble R. Il existe une relation plus fine que le cobordisme pour les variétés différentielles orientées. Une orientation sur une variété à bord induit une orientation sur le bord. Pour une variété différentielle orientable connexe M, il existe exactement deux orientations distinctes. Si une de ces orientations est spécifiée, M est dite par abus de langage orientée. On note alors la variété M munie de la seconde orientation. Deux variétés compactes orientées M et N sont dites cobordantes lorsqu'il existe une variété à bord compacte et orientée W dont le bord est la réunion disjointe de et de N. On dit que W est un cobordisme orienté entre M et N.